[論文レビュー] Phase Retrieval From the Magnitudes of Affine Linear Measurements

Gao Bing, Qiyu Sun+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2016

Advanced X-ray Imaging Techniques参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、信号がアフィン線形測定の大きさから回復されるアフィン位相復元を導入し、分析する。これは、線形測定に定数項を加えたものである。アフィン位相復元可能性の必要十分条件を確立し、複素数の場合には標準的位相復元で必要な4d−4よりもはるかに少ない3dの測定値で十分であることを示し、標準的位相復元に存在するユニモジュラー不確かさを排除することを証明する。

ABSTRACT

In this paper, we consider the phase retrieval problem in which one aims to recover a signal from the magnitudes of affine measurements. Let $\{{\mathbf a}_j\}_{j=1}^m \subset {\mathbb H}^d$ and ${\mathbf b}=(b_1, \ldots, b_m)^ op\in{\mathbb H}^m$, where ${\mathbb H}={\mathbb R}$ or ${\mathbb C}$. We say $\{{\mathbf a}_j\}_{j=1}^m$ and $\mathbf b$ are affine phase retrievable for ${\mathbb H}^d$ if any ${\mathbf x}\in{\mathbb H}^d$ can be recovered from the magnitudes of the affine measurements $\{|+b_j|,\, 1\leq j\leq m\}$. We develop general framework for affine phase retrieval and prove necessary and sufficient conditions for $\{{\mathbf a}_j\}_{j=1}^m$ and $\mathbf b$ to be affine phase retrievable. We establish results on minimal measurements and generic measurements for affine phase retrieval as well as on sparse affine phase retrieval. In particular, we also highlight some notable differences between affine phase retrieval and the standard phase retrieval in which one aims to recover a signal $\mathbf x$ from the magnitudes of its linear measurements. In standard phase retrieval, one can only recover $\mathbf x$ up to a unimodular constant, while affine phase retrieval removes this ambiguity. We prove that unlike standard phase retrieval, the affine phase retrievable measurements $\{{\mathbf a}_j\}_{j=1}^m$ and $\mathbf b$ do not form an open set in ${\mathbb H}^{m imes d} imes {\mathbb H}^m$. Also in the complex setting, the standard phase retrieval requires $4d-O(\log_2d)$ measurements, while the affine phase retrieval only needs $m=3d$ measurements.

研究の動機と目的

• アフィン線形測定（定数項を含む）を用いた位相復元の一般的な数学的枠組みを構築すること。
• 測定ベクトル {a_j} とシフト {b_j} が与えられたとき、信号 x ∈ ℍ^d がグローバル位相を除き一意に回復可能であるための必要十分条件を特定すること。
• アフィン位相復元に必要な最小測定数と、一般の測定構成を調査すること。
• スパース信号の回復がアフィン位相復元設定でどのように可能かを検討すること。
• 特に測定複雑性とユニモジュラー不確かさの観点から、アフィン位相復元と標準的位相復元を比較・対比すること。

提案手法

• 信号 x ∈ ℍ^d を |⟨a_j, x⟩ + b_j| から回復するアフィン位相復元を形式化する。ここで a_j ∈ ℍ^d かつ b_j ∈ ℍ である。
• 測定行列 A とベクトル b を用いてアフィン位相復元可能性を定義し、x が一意に回復可能となる条件を確立する。
• 代数幾何学とフレーム理論を用いて、アフィン位相復元可能性の必要十分条件を導出する。
• 必要な最小測定数を分析し、複素数の場合には m = 3d で十分であることを証明する。
• 標準的位相復元とは異なり、アフィン位相復元可能な測定の集合は ℍ^{m×d} × ℍ^m で開ではないことを示す。
• リプシッツ安定性解析を適用し、測定写像が小さな摂動に対して安定であることを示すが、双リプシッツではない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 測定ベクトル {a_j} とシフト {b_j} にどのような条件が課されると、信号 x ∈ ℍ^d が |⟨a_j, x⟩ + b_j| から一意に回復可能になるか？
• RQ2 実数および複素数の設定において、位相復元に必要なアフィン測定の最小数は何か？
• RQ3 アフィンシフトの導入が、標準的位相復元に存在するユニモジュラー不確かさをどのように排除するか？
• RQ4 アフィン位相復元可能な測定の集合は、パrameter空間 ℍ^{m×d} × ℍ^m で開かか？
• RQ5 スパース信号はアフィン位相復元を用いて効率的に回復可能か？その場合の測定要件は何か？

主な発見

• アフィン位相復元はユニモジュラー不確かさを排除する：信号はグローバル位相を除き一意に回復可能である。
• 複素数の場合、位相復元に必要な測定数は m = 3d に十分であり、標準的位相復元で必要な4d−4よりも少ない。
• アフィン位相復元可能な測定の集合は ℍ^{m×d} × ℍ^m で開ではない。これは標準的位相復元とは顕著な違いである。
• 一般測定において、複素数の場合には m = 3d の測定でアフィン位相復元が可能である。
• 測定写像 M_{A,b} は小さな摂動に対して安定であり、||M_{A,b}(x) - M_{A,b}(y)|| ≥ c / (1 + ||x|| + ||y||) ||x - y|| の形の下位リプシッツ境界を満たす。
• 信号ノルムが増加する際、出力距離と入力距離の比が0に近づくような列を構成することで、写像 M_{A,b} が双リプシッツでないことが示された。