[論文レビュー] Phase Retrieval via Structured Modulations in Paley-Wiener Spaces

Fanny Yang, Volker Pohl+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2013

Advanced X-ray Imaging Techniques参考文献 10被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、Paley-Wiener空間における連続時間帯域制限信号の位相再構成手法を、構造化された変調とオーバーサンプリングを用いて提案する。信号をコサイン関数で変調した後、振幅をサンプリングすることで、ナイキストレートの4倍のサンプリングレートで、グローバル位相を除き完全な再構成が達成される。これは、有限次元の位相再構成結果を無限次元の連続信号に拡張するものである。

ABSTRACT

This paper considers the recovery of continuous time signals from the magnitude of its samples. It uses a combination of structured modulation and oversampling and provides sufficient conditions on the signal and the sampling system such that signal recovery is possible. In particular, it is shown that an average sampling rate of four times the Nyquist rate is sufficient to reconstruct a signal from its magnitude measurements.

研究の動機と目的

• 振幅のみのサンプルから連続時間信号を再構成する課題に取り組む。これはX線回折結晶学、音声処理、画像処理などで一般的に見られる問題である。
• N次元信号に対しては4N−2回の測定で十分である有限次元の位相再構成結果を、帯域制限信号の無限次元Paley-Wiener空間へ拡張すること。
• 構造化された変調とオーバーサンプリングが、強度測定からの安定的かつ一意的な信号再構成を可能にする十分条件を確立すること。
• 平均してナイキストレートの4倍のサンプリングレートが、グローバル位相を除き完全な信号回復に十分であることを示すこと。

提案手法

• 信号を振幅サンプリングの前にコサイン関数で変調する変調バンクを導入し、位相関連情報を保持する構造化された干渉パターンを生成する。
• 重複する補間列Λ^aを用いたサンプリング方式を採用し、サンプリング周期βを、Paley-Wiener空間に対して完全な補間列を保つように選ぶ。
• 変調信号のフーリエ変換が、元の信号とコサイン項を含む和に因数分解可能であることに着目し、測定を通じて位相情報を伝搬可能にする。
• 正弦型関数および指数型整関数の理論を用い、サンプリングされた振幅から変調信号を再構成する。
• 再構成された変調信号の逆フーリエ変換を適用し、グローバル位相を除き元の信号を回復する。この際、T′ ≥ Tの条件を活用する。
• 補間列が正弦型関数の零点集合である場合、Bernstein空間B∞^{T′/2}における再構成の安定性に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 適切な信号処理を施せば、連続時間帯域制限信号は、振幅サンプルのみから一意に再構成可能か？
• RQ2 Paley-Wiener空間の信号に対して、安定的かつ一意的な位相再構成を保証するのに十分なサンプリングレートと変調構造は何か？
• RQ3 無限次元信号空間において、構造化された変調は、標準的なオーバーサンプリングに比べて、位相再構成性能をどのように向上させるか？
• RQ4 有限次元の位相再構成結果（N次元信号に対して4N−2回の測定）は、連続的で帯域制限された信号へどの程度拡張可能か？

主な発見

• 構造化された変調と組み合わせた場合、Paley-Wiener空間の信号は、振幅サンプルからの完全な再構成が、平均してナイキストレートの4倍のサンプリングレートで達成可能である。
• K=2、a=1、T′=Tのとき、最小のサンプリングレート4R_Nyが達成され、提案手法下で4倍ナイキストレートがタイトな境界であることが確認された。
• L¹ノルムが有界なR_M(T)空間に属する信号は、提案手法により振幅測定からグローバル位相を除き再構成可能である。
• 信号のサポートやz変換制約に関する事前知識がなくても、再構成は安定的かつ一意的である。
• 時間領域と周波数領域を入れ替えることで、バンド制限信号への一般化が可能であり、変調器を線形フィルタに置き換え、時間領域でサンプリングすることで実現できる。
• 整関数の理論、リース基底、正弦型関数の理論を用いて理論的保証を確立し、補間列の摂動に対してもロバスト性を確保した。