[論文レビュー] Phase transition in the three-dimensional $O(N)\otimes O(M)$ model: a Monte Carlo study

A. O. Sorokin|arXiv (Cornell University)|May 15, 2022

Theoretical and Computational Physics被引用数 4

ひとこと要約

本研究は、3次元の $O(N)\otimes O(M)$ モデルに対してモンテカルロ法を用いて相転移を調査し、$2 \leq M \leq 4$ および $M \leq N \leq 8$ の範囲で、$N \geq M+4$ の場合に連続的相転移が発生することを明らかにした。理論的予測の不一致を解消するため、マージナル次元 $N_c^+(M,3)$ が第一および第二の順序の $N$ 大の展開推定値の間にあることが示され、$M=2$ の場合に異なる手法間で一貫した臨界指数が得られた。また、トポロジカルな欠际が存在しない場合に第二順序相転移が継続することも特定された。

ABSTRACT

Using Monte Carlo simulations, we consider the lattice version of the $O(N)\otimes O(M)$ sigma model for $2\leq M\leq4$ and $M\leq N \leq8$. We find a continuous transition for $N\geq M+4$. Estimates of the critical exponents for cases of second-order and weak first-order transitions are found. For $M=2$ our estimates of the exponents and marginal dimensionality $N_c^+(M)$ are in good agreement with the results of the non-perturbative renormalization group approach. For $M\geq2$ we find estimates of the exponents and marginal dimensionality between the values obtained in the first and second orders of the large-N expansion. To complete the picture, we also consider the usual $O(N)$ model ($M=1$).

研究の動機と目的

• 3次元の $O(N)\otimes O(M)$ モデルの臨界挙動に関する長年の理論的予測の不一致を解消すること。
• 有限サイズスケーリングを用いて、$N$ と $M$ の値が異なる場合の相転移の性質（第二順序、弱い第一順序、または第一順序）を特定すること。
• 臨界指数およびマージナル次元 $N_c^+(M,3)$ の推定を行い、特に $M=2,3,4$ の場合に、$N$ 大の展開、非摂動的RG、コンフォーマルブートストラップの結果と比較すること。
• トポロジカル欠际の役割を明確にするために、欠际が存在しない場合に相転移が連続的であるケースを特定すること。

提案手法

• 立方格子上での格子 $O(N)\otimes O(M)$ シグマ模型に対する数値的モンテカルロシミュレーション（最大サイズ $L=60$ まで）。
• 内部エネルギー分布の有限サイズスケーリング解析により、第一順序相転移を示す二重ピーク構造の有無を検出する。
• エネルギーおよび比熱などの観測量のスケーリングコラプスを用いた臨界指数の推定。
• フェイシャー指数 $\eta$ の計算により、弱い第一順序（$\eta < 0$）と第二順序相転移（$\eta \geq 0$）を区別する。
• $M$ ごとに、逆臨界温度 $K_c$ を $N$ の関数としてフィッティングし、経験的スケーリング関係を推定する。
• 結果を、$M=2$ に特に注目して、$N$ 大の展開、非摂動的RG、コンフォーマルブートストラップからの理論的予測と比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元の $O(N)\otimes O(M)$ モデルは、一部のRG手法が予測するように $N \geq M+4$ の場合に連続的相転移を示すか？
• RQ2 マージナル次元 $N_c^+(M,3)$ の正確な値は何か？ また、$4-\varepsilon$ 展開、$N$ 大の展開、非摂動的RG手法からの推定値と比較するとどうなるか？
• RQ3 なぜ摂動的RG手法は $M=2$ および $N=2,3,4$ の場合に焦点型固定点を予測するのに対し、他の手法ではそうならないのか？
• RQ4 数値的シミュレーションは、$O(2)\otimes O(2)$ および $O(3)\otimes O(2)$ モデルにおける相転移の性質に関する論争を解消できるか？
• RQ5 特にトポロジカル欠际の有無にかかわらず、複数の結合定数が存在する条件下で、どのような条件で相転移が第二順序のままであるのか？

主な発見

• $M=2$ の場合、臨界指数およびマージナル次元 $N_c^+(2,3)$ は非摂動的レノルマライゼーション群（NPRG）の結果と良好に一致している。
• $M \geq 2$ の場合、推定された臨界指数および $N_c^+(M,3)$ は第一および第二の順序の $N$ 大展開推定値の間にあるため、再結合化により収束性が向上している可能性がある。
• $N \geq M+4$ の場合に第二順序相転移が観測され、$L=60$ までに内部エネルギー分布に二重ピーク構造は認められなかった。
• $M=2$ の場合、$N=4$ および $N=5$ では弱い第一順序相転移（$\eta < 0$）が観測され、$N=6,7,8$ では第二順序相転移が観測された。$M=3$ の場合、$N=7,8$ で第二順序相転移が観測された。$M=4$ の場合、$N=8$ で第二順序相転移が観測された。
• 逆臨界温度 $K_c$ は各 $M$ に対して $N$ と線形に比例し、$M=2$ では $K_c \approx 0.244812N - 0.082677$、$M=3$ では $K_c \approx 0.245994N - 0.135670$、$M=4$ では $K_c \approx 0.250345N - 0.169116$ のフィットが得られた。
• 本研究では、$M=2$ および $N=2,3,4$ の場合に焦点型固定点の証拠を確認できず、摂動的RGの予測とは矛盾する。代わりに、$N \geq M+4$ の場合に連続的相転移が存在することを支持する結果が得られた。