[論文レビュー] Phase transitions and noise sensitivity on the Poisson space via stopping sets and decision trees

Günter Last, Giovanni Peccati+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2021

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 68被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、連続時間の意思決定木と一般化された停止集合の新しい概念を用いて、ポアソン過程の汎関数に対するOSSSおよびSchramm-Steif不等式の内在的バージョンを確立する。これにより、連続型確率的グラフモデルにおける鋭い相転移とノイズ感受性を示し、ポアソンボーリングモデルとコフレッティ確率的グラフモデルに関する未解決問題を解消する。その分析は臨界における1本腕確率の計算に還元される。

ABSTRACT

Proofs of sharp phase transition and noise sensitivity in percolation have been significantly simplified by the use of randomized algorithms, via the OSSS inequality (proved by O'Donnell, Saks, Schramm and Servedio (2005)) and the Schramm-Steif inequality for the Fourier-Walsh coefficients of functions defined on the Boolean hypercube. In this article, we prove intrinsic versions of the OSSS and Schramm-Steif inequalities for functionals of a general Poisson process, and apply these new estimates to deduce sufficient conditions - expressed in terms of randomized stopping sets - yielding sharp phase transitions, quantitative noise sensitivity, exceptional times and bounds on critical windows for monotonic Boolean Poisson functions. Our analysis is based on a new general definition of `stopping set', not requiring any topological property for the underlying measurable space, as well as on the new concept of a `continuous-time decision tree', for which we establish several fundamental properties. We apply our findings to the $k$-percolation of the Poisson Boolean model and to the Poisson-based confetti percolation with bounded random grains. In these two models, we reduce the proof of sharp phase transitions for percolation, and of noise sensitivity for crossing events, to the construction of suitable randomized stopping sets and the computation of one-arm probabilities. This enables us to settle some open problem suggested by Ahlberg, Tassion and Texeira (2018) on noise sensitivity of crossing events for the planar Poisson Boolean model and also planar Confetti percolation model. Further, we also prove that critical probability is $1/2$ in certain planar confetti percolation models. A special case of this result was conjectured by Benjamini and Schramm (1998) and proved by Müller (2017). Other special cases were proven by Hirsch (2015) and Ghosh and Roy (2018).

研究の動機と目的

• ハイパーキューブ上のブール関数に最初に導入されたOSSSおよびSchramm-Steif不等式を、一般のポアソン過程の汎関数へと拡張すること。
• 基礎となる空間に位相的仮定を課さない、停止集合および連続時間意思決定木（CTDT）の一般理論を構築すること。
• これらの道具を用いて、ポアソンボーリングモデルやコフレッティモデルを含む連続型確率的グラフモデルにおける鋭い相転移とノイズ感受性を証明すること。
• 有限な$(2+\alpha)$-モーメントを有する平面ポアソンボーリングモデルにおけるクロスイベントのノイズ感受性に関する未解決問題と、対称的で有界な粒を有するコフレッティ確率的グラフモデルにおける臨界確率$1/2$に関する未解決問題を解消すること。
• ベンジャミン＝シュラム、ミュラー、ヒルシュ、ゴーシュ＝ロイらの先行研究における臨界確率およびノイズ感受性に関する結果を統合・一般化すること。

提案手法

• 基礎となる可測空間に位相的構造を要しない停止集合の新しい定義を導入する。
• ポアソン汎関数のための確率的アルゴリズムの連続時間版として、連続時間意思決定木（CTDT）を定義する。
• CTDTの露呈確率を用いて分散を評価する、ポアソン空間におけるOSSS不等式を確立する。
• Fourier-Walsh係数と露呈確率およびノイズ感受性を関連付ける、ポアソン空間におけるSchramm-Steif不等式の類似を導出する。
• オルンシュタイン＝ウーレンハイム半群を用いて、ポアソン設定におけるノイズ安定性および感受性を分析する。
• 適切な確率的停止集合を構築し、臨界における1本腕確率を計算することで、$k$-確率的グラフモデルおよびコフレッティ確率的グラフモデルに不等式を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 抽象的な可測空間上のポアソン過程の汎関数に対して、OSSSおよびSchramm-Steif不等式を一般化することは可能か？
• RQ2 停止集合および連続時間意思決定木は、連続型確率的グラフモデルにおけるノイズ感受性および相転移を特徴付ける上で果たす役割は何か？
• RQ3 有限な$(2+\alpha)$-モーメントを有する平面ポアソンボーリングモデルにおけるクロスイベントは、ノイズ感受性を示すか？
• RQ4 有界で、$π/2$回転および反転対称性を持つ粒を有するコフレッティ確率的グラフモデルにおける臨界確率は、正確に$1/2$か？
• RQ5 停止集合の構築と1本腕確率の推定は、連続型確率的グラフモデルにおける鋭い相転移の証明に用いることができるか？

主な発見

• 本稿は、位相的仮定を要しない一般の可測空間上で有効な、ポアソン汎関数に対するOSSSおよびSchramm-Steif不等式の内在的バージョンを確立した。
• 有限な$(2+\alpha)$-モーメントを有する平面ポアソンボーリングモデルにおけるクロスイベントがノイズ感受性を示すことを証明した。これはアールベルグたの予想を確認するものである。
• 有界で、$π/2$回転および反転対称性を持つ粒を有するコフレッティ確率的グラフモデルにおいて、臨界確率が正確に$1/2$であることを示し、ベンジャミンとシュラムの予想を解消した。
• ミュラー、ヒルシュ、ゴーシュ＝ロイらの先行研究における特定の確率的グラフモデルにおける臨界確率およびノイズ感受性に関する結果を統合・一般化した。
• 鋭い相転移およびノイズ感受性の証明は、確率的停止集合の構築と臨界における1本腕確率の計算に還元された。
• 一部の停止集合は、いかなる$\lambda$-連続なCTDTによっても実現不可能であることを示した。これにより、本稿で提案された理論的枠組みの必要性が裏付けられた。