[論文レビュー] Phase transitions for geodesic flows and the geometric potential

Aníbal Velozo|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本論文は、$ k \geq 3 $ 個の穴あきをもつ球面——特に幾何的に有限で負に曲がった多様体——を構成し、測地線流れの幾何的ポテンシャル（不安定ヤコビアン）がタイプAの相転移を示すことを示した。カスプ付近での計量を巧みに設計することでポテンシャルの減衰を遅くし、著者らはその結果、圧力写像が非解析的となり、1階微分に不連続性を示し、平衡状態が $ t < s_{n,m} $ のみに存在することを示した。一方、$ t > s_{n,m} $ では圧力写像が線形になることから、鋭い相転移が生じることを示した。

ABSTRACT

In this paper we study the phenomenon of phase transitions for the geodesic flow on some geometrically finite negatively curved manifolds. We define a class of potentials going slowly to zero through the cusps of $M$ for which the pressure map exhibits a phase transition. By a careful choice of the metric at the cusp we construct a geometrically finite manifold for which the geometric potential (or unstable Jacobian) exhibits a phase transition. Our results apply, in particular, to the geodesic flow on an $M$-puncture sphere, for every $M\ge 3$, and a suitable choice of Riemannian metric.

研究の動機と目的

• 非コンパクトで幾何的に有限かつ負に曲がった多様体上の測地線流れの熱力学的形式主義における相転移の存在を調査すること。
• 特に無限遠でポテンシャルが緩やかに減衰する場合に生じる非コンパクト多様体における圧力写像の正則性欠如を扱うこと。
• 具体的に $ k \geq 3 $ 個の穴あき球面——特に $ k $-穴あき球面——を明示的に構成し、その上で幾何的ポテンシャルが相転移を示すことを示すこと。
• ポテンシャルがホルダー連続であっても、カスプを通る際のポテンシャルの緩やかな減衰が相転移を引き起こすことを示すこと。
• 平衡状態が臨界逆温度 $ s_{n,m} $ よりも低い $ t $ のみに存在することを示し、$ t > s_{n,m} $ では圧力写像が線形になること。

提案手法

• パラボリックおよび双曲的生成元をもつ拡張シュットキー群を用いて、カスプ付近での修正計量により幾何的に有限な多様体 $ M_{n,m} $ の族を構成する。
• 不安定ヤコビアン（幾何的ポテンシャル）として $ F_{n,m}^{su} $ を定義し、逆温度 $ t $ の関数として圧力写像 $ P(tF_{n,m}^{su}) $ を考察する。
• 群作用のポincare級数および収束・発散型を用いて、$ tF_{n,m}^{su} $ の平衡状態の存在を分析する。
• 強正再帰（SPR）ポテンシャルの理論を適用し、$ t > t_{n,m} $ では平衡状態が存在するが $ t < t_{n,m} $ では存在しないことを示し、$ t_{n,m} \in [-1,0) $ であることを示す。
• 圧力写像が $ t > s_{n,m} = -t_{n,m} $ で線形であることを証明し、タイプAの相転移を示す。
• $ Q = -F_{n,m}^{su} - (N-1) $ が収束型ポincare級数をもたらすことに着目し、臨界指数の分析によって相転移の構成を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非コンパクトで幾何的に有限かつ負に曲がった多様体上の測地線流れの圧力写像に、ホルダー連続なポテンシャルのもとで相転移が生じ得るか。
• RQ2 カスプを通るポテンシャルの減衰率にどのような条件が相転移を引き起こすか。
• RQ3 $ k \geq 3 $ 個の穴あき球面において、適切なリーマン計量のもとで幾何的ポテンシャル（不安定ヤコビアン）が相転移を示すか。
• RQ4 ポテンシャルがホルダー連続でかつ無限遠で緩やかに減衰する場合であっても、幾何的ポテンシャルの圧力写像にタイプAの相転移を構成可能か。
• RQ5 ポincare級数の収束型と、ポテンシャル $ tF^{su} $ の平衡状態の存在との間にはどのような関係があるか。

主な発見

• 十分に大きな $ n $ および $ m $ に対して、多様体 $ M_{n,m} $ は拡張シュットキー多様体であり、幾何的ポテンシャル $ F_{n,m}^{su} $ がタイプAの相転移を示す。
• 臨界値 $ s_{n,m} \in (0,1] $ が存在し、$ t < s_{n,m} $ のとき $ tF_{n,m}^{su} $ には平衡状態が存在するが、$ t > s_{n,m} $ のときは存在しない。
• 圧力写像 $ P(tF_{n,m}^{su}) $ は $ t > s_{n,m} $ で線形であるため、$ t = s_{n,m} $ で1階微分に不連続性が生じ、相転移の特徴的兆候である。
• 測地線流れ $ M_{n,m} $ は、パラボリックおよび双曲的生成子のポincare級数の発散型により、最大エントロピー測度を一意にもつ。
• この構成は任意の $ k \geq 3 $ 個の穴あき球面に適用可能であり、このような相転移が特定の位相に依存しないことを示している。
• 相転移はカスプを通るポテンシャルの緩やかな減衰に起因し、減衰率が制御されていれば、カスプ近傍での計量の変更に対しても安定である。