[論文レビュー] Phase transitions in Z_N gauge theory and twisted Z_N topological phases

Maissam Barkeshli, Xiao-Gang Wen|DSpace@MIT (Massachusetts Institute of Technology)|Dec 11, 2010

Metal and Thin Film Mechanics被引用数 3

ひとこと要約

本論文は、アーベル型 $Z_N$ ゲージ理論の $Z_2$ 電磁対称性を $U(1)\times U(1)\rtimes Z_2$ クラウザー・シンコペイ理論を介してゲージ化することにより導かれる、非アーベル的トポロジカルな相の新クラス—「ねじれた」$Z_N$ 状態—を提案する。これらの状態は3次元イジング普遍性クラスに属する連続的量子相転移を通じて出現し、$Z_2$ 分数化を伴うパートン構成によって実現され、$N>2$ の場合に非アーベル統計と時間反転対称性の破れを示す。主な結果は、局所的相互作用を持つ強い相互作用系におけるこれらの相の微視的実現である。

ABSTRACT

We find a series of non-Abelian topological phases that are separated from the deconfined phase of Z_N gauge theory by a continuous quantum phase transition. These non-Abelian states, which we refer to as the "twisted" Z_N states, are described by a recently studied $U(1) imes U(1) times Z_2$ Chern-Simons (CS) field theory. The $U(1) imes U(1) times Z_2$ CS theory provides a way of gauging the global Z_2 electric-magnetic symmetry of the Abelian Z_N phases, yielding the twisted Z_N states. We introduce a parton construction to describe the Abelian Z_N phases in terms of integer quantum Hall states, which then allows us to obtain the non-Abelian states from a theory of Z_2 fractionalization. The non-Abelian twisted Z_N states do not have topologically protected gapless edge modes and, for N > 2, break time-reversal symmetry.

研究の動機と目的

• アーベル型 $Z_N$ 相における $Z_2$ 電磁対称性のゲージ化から生じる、非アーベル的トポロジカル相の新クラス—「ねじれた」$Z_N$ 状態—の同定と特徴付けを目的とする。
• 局所的相互作用を持つ強い相互作用ボソン系において、$Z_2$ 分数化を伴うパートン構成を用いて、これらの非アーベル的状態の微視的実現を確立することを目的とする。
• アーベル型 $Z_N$ デコンfinement相と非アーベル的ねじれた $Z_N$ 相との間の連続的量子相転移の性質を特定することを目的とする。
• 特に $N>2$ の場合におけるねじれた $Z_N$ 状態のトポロジカル秩序と対称性性質を明確化すること、特に保護された局所的エッジモードを有さないことと、時間反転対称性の破れを目的とする。

提案手法

• 著者らは、ねじれた $Z_N$ 状態の有効低エネルギー理論を記述するため、整数カップリング定数を有する $U(1)\times U(1)\rtimes Z_2$ クラウザー・シンコペイ（CS）場理論を用いる。
• 彼らは整数量子ホール状態を用いたパートン表現を構築し、$Z_2$ 分数化を通じて非アーベル統計の出現を可能にする。
• $K$-行列形式を用いてトポロジカル秩序を記述し、$K$-行列は $SU(N)\times SU(N)\times SU(N)$ のカルタン生成子から導出され、大規模ゲージ変換が一貫して保たれるように正規化される。
• 理論は大規模ゲージ変換と、カルタン代数に作用する離散的ウェイル群対称性を組み込み、$K$-行列がトーラス上のトポロジカルデゲネラシーを完全に捉えられることを保証する。
• トーラス上で $a_0^I = 0$ とすることで系を正準的に量子化し、ハミルトニアンが消え、ゲージ不変性からの制約を満たす運動量状態の和として波動関数が表現される。
• 解析により、ウェイル群が状態空間上で自明に作用することが確認され、$K$-行列が理論の完全なトポロジカル不変量であることが裏付けられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非アーベル的トポロジカル相は、アーベル型 $Z_N$ ゲージ理論から連続的量子相転移として実現可能か？
• RQ2 $Z_2$ 電磁対称性がトポロジカル相における非アーベル統計の生成に果たす役割は何か？
• RQ3 $U(1)\times U(1)\rtimes Z_2$ クラウザー・シンコペイ理論が、アーベル的および非アーベル的トポロジカル相の両方をどのように記述できるか？
• RQ4 局所的相互作用を持つ系において、パートン構成と $Z_2$ 分数化による非アーベル状態の微視的メカニズムは何か？
• RQ5 なぜねじれた $Z_N$ 状態は $N>2$ の場合に保護された局所的エッジモードを有さず、時間反転対称性を破るのか？

主な発見

• 整数カップリング定数を有する $U(1)\times U(1)\rtimes Z_2$ クラウザー・シンコペイ理論は、アーベル型 $Z_N$ ゲージ理論とは異なる、非アーベル的トポロジカル相である「ねじれた」$Z_N$ 状態の系列を記述する。
• これらのねじれた $Z_N$ 状態は、3次元イジング普遍性クラスに属する連続的量子相転移を通じて、アーベル型 $Z_N$ デコンfinement相と接続される。
• $K$-行列は $SU(N)\times SU(N)\times SU(N)$ のカルタン生成子から導出され、行列式が $N^2$ であるため、トーラス上のトポロジカルデゲネラシーが確認される。
• ゲージ群のウェイル群が状態空間上で自明に作用することから、$K$-行列がトポロジカル秩序を完全に捉え、追加の同定は不要であることが示される。
• $N>2$ の場合、ねじれた $Z_N$ 状態はアーベル型 $Z_N$ 相とは異なり、時間反転対称性を破り、トポロジカルに保護された局所的エッジモードを有さない。
• 整数量子ホール状態の $Z_2$ 分数化を用いたパートン構成は、局所的相互作用を持つ強い相互作用ボソン系において、これらの非アーベル的相の微視的実現を提供する。