[論文レビュー] Phase Transitions of Best-of-Two and Best-of-Three on Stochastic Block Models

Nobutaka Shimizu, Takeharu Shiraga|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Opinion Dynamics and Social Influence参考文献 40被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、2n 個のノードからなる2つの等しいサイズのコミュニティをもつストースティックブロックモデル G(2n, p, q) におけるベストオブツーおよびベストオブスリーの投票プロセスを研究し、コミュニティ間エッジ密度比 r = q/p に応じたコンセンサス時間の段階的転移を示している。r が閾値 r* = √5−2（ベストオブツーの場合）および r* = 1/7（ベストオブスリーの場合）を超えると、任意の初期バイアス Ω(n) に対して、コンセンサスは O(log log n + log n / log(np)) ステップで達成される。それ以外の場合は、コンセンサスに 2^Ω(n) ステップを要する可能性がある。定数 p および r > r* の場合、初期構成にかかわらずコンセンサスは O(log n) ステップで達成される。

ABSTRACT

This paper is concerned with voting processes on graphs where each vertex holds one of two different opinions. In particular, we study the \emph{Best-of-two} and the \emph{Best-of-three}. Here at each synchronous and discrete time step, each vertex updates its opinion to match the majority among the opinions of two random neighbors and itself (the Best-of-two) or the opinions of three random neighbors (the Best-of-three). Previous studies have explored these processes on complete graphs and expander graphs, but we understand significantly less about their properties on graphs with more complicated structures. In this paper, we study the Best-of-two and the Best-of-three on the stochastic block model $G(2n,p,q)$, which is a random graph consisting of two distinct Erdős-Rényi graphs $G(n,p)$ joined by random edges with density $q\leq p$. We obtain two main results. First, if $p=ω(\log n/n)$ and $r=q/p$ is a constant, we show that there is a phase transition in $r$ with threshold $r^*$ (specifically, $r^*=\sqrt{5}-2$ for the Best-of-two, and $r^*=1/7$ for the Best-of-three). If $r>r^*$, the process reaches consensus within $O(\log \log n+\log n/\log (np))$ steps for any initial opinion configuration with a bias of $Ω(n)$. By contrast, if $rr^*$, we show that, for any initial opinion configuration, the process reaches consensus within $O(\log n)$ steps. To the best of our knowledge, this is the first result concerning multiple-choice voting for arbitrary initial opinion configurations on non-complete graphs.

研究の動機と目的

• コミュニティ構造を持つグラフにおける多選択投票プロセスのコンセンサスダイナミクスを分析すること。
• コミュニティ接続性（q/p による）がストースティックブロックモデルにおけるコンセンサス時間に与える影響を理解すること。
• 完全でなく、エクスパンダでもないグラフにおけるベストオブツーおよびベストオブスリーのプロセスのコンセンサス時間における段階的転移を確立すること。
• 完全グラフおよびエクスパンダグラフにおける既知の結果を、コミュニティ構造をもつより複雑なランダムグラフモデルへと拡張すること。
• スパarsなストースティックブロックモデルにおける任意の初期意見配置に対するコンセンサス時間のタイトなバウンドを提供すること。

提案手法

• 密度 q ≤ p のコミュニティ間エッジをもつ G(2n, p, q) という2つの等しいサイズのコミュニティをもつストースティックブロックモデルにおける投票プロセスのモデリング。
• 定理6.2を用いて、確率的プロセスを決定的力学系による近似で分析し、確率的軌道と決定的軌道の乖離を制限する。
• 力学系理論のツールを用いて収束性および固定点からの脱出を研究し、特にコンセンサス付近および固定点の安定性の挙動に注目する。
• 集中不等式および分散バウンド（命題10.6）を用いて、力学系近似の適用に必要な条件を検証する。
• 決定的近似における固定点の安定性を分析することで段階的転移の閾値を確立し、特に r = q/p の臨界値における挙動に注目する。
• スレーブ特性およびグラフ拡張特性（例：fBo2_1-good および fBo2_2-good 条件）を活用して、異なるグラフ領域における近似の有効性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の初期意見配置で Ω(n) のバイアスをもつ場合、ストースティックブロックモデル G(2n, p, q) におけるベストオブツープロセスのコンセンサス時間は何か？
• RQ2 ベストオブスリープロセスのコンセンサス時間に、コミュニティ間エッジ密度比 r = q/p に応じた段階的転移が生じるか？
• RQ3 定数 p および r > r* の場合、初期構成にかかわらずストースティックブロックモデルでコンセンサスが O(log n) ステップで達成可能か？
• RQ4 ベストオブツーおよびベストオブスリープロセスにおいて、コンセンサスが高速に達成されるよう保証される閾値 r* は何か？
• RQ5 ストースティックブロックモデルの構造は、固定点からの脱出およびコンセンサスへの収束にどのように影響するか？

主な発見

• ベストオブツープロセスにおいて、p = ω(log n / n) かつ r = q/p > √5−2 であれば、任意の初期配置で Ω(n) のバイアスをもつ場合、高確率で O(log log n + log n / log(np)) ステップでコンセンサスに到達する。
• r < √5−2 であれば、コンセンサスに到達するまでに少なくとも 2^Ω(n) ステップを要する初期配置が存在する。
• ベストオブスリープロセスにおいて、p = ω(log n / n) かつ r > 1/7 であれば、任意の初期配置で Ω(n) のバイアスをもつ場合、高確率で O(log log n + log n / log(np)) ステップでコンセンサスに到達する。
• p が定数であり r > r* であれば、ベストオブツーおよびベストオブスリーの両プロセスが、任意の初期意見配置に対して O(log n) ステップでコンセンサスに到達する。
• 段階的転移の閾値は明確である：ベストオブツーでは r* = √5−2、ベストオブスリーでは r* = 1/7 であり、これは高速なコンセンサスと指数的に遅いコンセンサスの境界を示している。
• 本結果は、完全でないグラフにおける多選択投票のコンセンサス時間バウンドを初めて確立したものであり、完全グラフおよびエクスパンダグラフに関する先行研究を、コミュニティ構造をもつより複雑なランダムグラフモデルへと拡張している。