[論文レビュー] Phase transitions on the Toeplitz algebras of Baumslag-Solitar semigroups

Lisa Orloff Clark, Astrid an Huef+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2015

Advanced Operator Algebra Research参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、 Baumslag-Solitar 半群に関連する Toeplitz C*-代数の KMS (Kubo-Martin-Schwinger) 状態における相転移を調査する。自然な R-作用によって定義される力学系を用いて、逆温度 β > ln d のとき、単体が円周上の確率測度によってパラメータ付けられた KMS 状態の集合を形成することを示す。臨界逆温度 β = ln d において、d が c を割り切らないとき、相転移が発生し、単体が単一の点に収縮する。無限大温度（基底状態）においては、有限温度の KMS 状態の極限として得られない複数の非同値な基底状態が存在する。

ABSTRACT

Spielberg has recently shown that Baumslag-Solitar groups associated to pairs of positive integers are quasi-lattice ordered in the sense of Nica. Thus they have tractable Toeplitz algebras. Each of these algebras carries a natural dynamics. Here we construct the equilibrium states (the KMS states) for these dynamics. For inverse temperatures larger than a critical value, there is a large simplex of KMS states parametrised by probability measures on the unit circle. At the critical value, and under a mild hypothesis, there is a phase transition in which this simplex collapses to a singleton. There is a further phase transition at infinity, in the sense that there are many ground states which cannot be realised as limits of KMS states with finite inverse temperatures.

研究の動機と目的

• Baumslag-Solitar 半群 BS(c,d) に関連する Toeplitz 代数の KMS 状態を、自然な R-作用の下で分析すること。
• さまざまな逆温度 β における平衡状態（KMS 状態）の構造を特定すること。
• 臨界逆温度 β = ln d における相転移および無限大温度極限（基底状態）における相転移を調査すること。
• 'd が c を割り切らない'という条件が、β = ln d における相転移の性質をどのように決定するかを明確にすること。
• 系の基底状態を特定し、それらが有限逆温度の KMS 状態の極限として得られないことを示すこと。

提案手法

• 半群 P = ⟨a,b | ab^c = b^d a⟩ における左正則表現を ℓ²(P) 上にとり、T(P) をその C*-代数として構成する。
• ゲージ作用を用いて、円周作用を C*-代数上への力学系に引き上げる自然な R-作用 α を定義する。
• 生成元 T_x T_y* の積を含む交換関係を用いて KMS 状態を特徴付ける。
• b で生成される部分群の誘導ユニタリ表現を用いて、β > ln d の KMS 状態を構成し、不変部分空間に制限する。
• 臨界逆温度 β = ln d を分析する際、d ∤ c のとき KMS 状態の単体が単一の点に収縮することを示す。
• 共通の商への因数分解ができないため、誘導表現に依存せず、等長表現を直接用いて基底状態を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 逆温度 β > ln d のとき、Baumslag-Solitar 半群 BS(c,d) の Toeplitz 代数における KMS 状態の構造はどのようなものか？
• RQ2 逆温度 β = ln d における相転移は、数論的条件 'd が c を割り切らない' にどのように依存するか？
• RQ3 有限逆温度の KMS 状態の極限として得られない基底状態は存在するか？
• RQ4 境界商は、臨界および無限大逆温度における KMS 構造において果たす役割は何か？
• RQ5 共通の商への因数分解ができない場合、誘導表現を用いずに基底状態を構成することは可能か？

主な発見

• β > ln d のとき、KMS 状態の集合は単体であり、単位円周上の確率測度によってパラメータ付けられる。
• 臨界逆温度 β = ln d において、d が c を割り切らないとき、KMS 状態の単体は単一の点に収縮し、相転移が発生することが示される。
• d が c を割り切る場合、β = ln d においても複数の KMS 状態が存在するため、相転移は d ∤ c の条件下でのみ鋭いものであることが判明する。
• β = ln d における一意な KMS 状態は、半群の境界商を経由して因数分解され、これは Kirchberg 代数である。
• 有限逆温度の KMS 状態の極限として得られない複数の基底状態（KMS∞ 状態）が存在し、これは無限大温度における別個の相を示している。
• Toeplitz 代数は左正則表現を用いて忠実に表現され、コア C*-代数は正規形の長さによって添え字づけられた部分空間の和集合によって生成される。