[論文レビュー] Phased and phaseless domain reconstruction in inverse scattering problem via scattering coefficients

Habib Ammari, Yat Tin Chow+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2015

Microwave Imaging and Scattering Analysis参考文献 35被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、散乱係数を用いた位相なし逆散乱問題の安定性解析と再構成アルゴリズムを提示し、位相ありと位相なしの再構成を比較する。位相なし測定の最適化のための条件数に基づく戦略を導入し、位相なし再構成は著しく悪条件であるが、適切なサンプリングと正則化を用いることで、ロバストな結果が得られることを示した。数値実験により、5%のノイズ下でL²誤差が7%未満となることが検証された。

ABSTRACT

In this work we shall review the (phased) inverse scattering problem and then pursue the phaseless reconstruction from far-field data with the help of the concept of scattering coefficients. We perform sensitivity, resolution and stability analysis of both phased and phaseless problems and compare the degree of ill-posedness of the phased and phaseless reconstructions. The phaseless reconstruction is highly nonlinear and much more severely ill-posed. Algorithms are provided to solve both the phased and phaseless reconstructions in the linearized case. Stability is studied by estimating the condition number of the inversion process for both the phased and phaseless cases. An optimal strategy is suggested to attain the infimum of the condition numbers of the phaseless reconstruction, which may provide an important guidance for efficient phaseless measurements in practical applications. To the best of our knowledge, the stability analysis in terms of condition numbers are new for the phased and phaseless inverse scattering problems, and are very important to help us understand the degree of ill-posedness of these inverse problems. Numerical experiments are provided to illustrate the theoretical asymptotic behavior, as well as the effectiveness and robustness of the phaseless reconstruction algorithm.

研究の動機と目的

• 散乱係数を用いた位相ありおよび位相なし逆散乱再構成の感度、分解能、安定性を分析すること。
• 位相ありおよび位相なし問題の条件数を比較することで、悪条件性の度合いを定量化すること。
• 線形化領域における位相ありおよび位相なし両ケースのための効率的な再構成アルゴリズムを開発すること。
• 位相なし再構成の条件数を最小化する最適な測定戦略を提案し、実用的なデータ収集をガイドすること。

提案手法

• 本研究では、コントラスト関数 q(x) = ε*χ_D(x) を用いて、ヘルムホルツ方程式による音響媒体散乱をモデル化し、遠方場測定を用いる。
• 遠方場パターンから散乱係数を導出し、位相ありおよび位相なし両ケースの逆問題を線形化する。
• 逆問題の悪条件性を評価するため、インバージョンプロセスの条件数を推定し、位相なし再構成が著しく悪条件であることが示された。
• 位相なし再構成を安定化させるために、Tikhonov型正則化をL¹およびL²ペナルティを用いて適用する。
• 形状およびコントラストの再構成には、ドメイン摂動のフーリエモード展開を用いた数値アルゴリズムを実装する。
• 条件数を最小化することで最適な測定配置を導出し、位相なしデータ収集の実用的ガイドラインを提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位相なし再構成問題の条件数は、位相あり問題のそれと比べてどのように異なるのか。これは、両者の相対的な悪条件性に何を示唆するのか。
• RQ2 散乱係数と適切な正則化を用いることで、位相なし再構成問題は効果的に安定化できるか。
• RQ3 位相なし測定において、再構成誤差を最小化するための最適な波数の数と分布は何か。
• RQ4 L¹正則化とL²正則化の異なる戦略が、位相なし再構成の精度およびロバスト性にどのように影響するか。
• RQ5 特にノイズのある条件下で、位相なしデータのみで、内包物の形状とコントラストをどの程度再構成できるか。

主な発見

• 条件数の観点から、位相なし再構成は位相あり再構成よりも著しく悪条件であることが示された。
• 提案された最適な測定戦略により、位相なし再構成の条件数が最小化され、効率的なデータ収集のための実用的フレームワークが提供された。
• 数値実験により、最適なサンプリングと正則化を用いることで、5%のノイズ下で相対L²誤差が最小0.57%にまで低下することが確認された。
• 最適でない測定セットでは再構成品質が劣化し、最悪ケースでは誤差が14.84%にまで上昇した。
• L¹正則化は、正確な解がスパースでない場合でも驚くべきほど優れた結果を示し、特定の条件下でのロバスト性を示した。
• 本手法は、極めて悪条件であるにもかかわらず、複雑な花びら型の形状を高精度で再構成でき、有効性が実証された。