[論文レビュー] Phaseless inverse problems with interference waves

V. G. Romanov, Masahiro Yamamoto|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2018

Numerical methods in inverse problems参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、2つの点源（入射源と補助源）からの干渉パターンを用いて、楕円型方程式に対する位相なし逆問題を解決する新規な手法を提案する。全場のモジュラスを測定することで、適切な幾何的・漸近的条件下で、有界領域内のポテンシャルまたは屈折率が一意に特定可能であることを証明している。高周波数における波の干渉の漸近解析により、この問題は古典的な逆運動的問題やトモグラフィー問題に還元可能である。

ABSTRACT

We consider two phaseless inverse problems for elliptic equation. The statements of these problems differ from have considered. Namely, instead of given information about modulus of scattering waves, we consider the information related to modulus of full fields, which consist of sums of incident and scattering fields. These full fields are the interference fields generated by point sources. We introduce a set of auxiliary point sources for solving the inverse problems and demonstrate that the corresponding data allow us to solve the inverse problems in a way similar to the case of measurements of scattering waves.

研究の動機と目的

• 測定データが散乱場のみでなく、入射場＋散乱場の全場のモジュラスである位相なし逆問題に対処すること。
• 全場データの複雑さを克服するため、制御された干渉パターンを生成する補助点源を導入すること。
• これらの干渉場からの位相なしデータが、有界領域内での未知係数（ポテンシャルまたは屈折率）を一意に特定できることを示すこと。
• 全場データを用いた位相なし逆問題を、既知のトモグラフィー問題および逆運動的問題に還元し、既存の一意性および安定性結果を適用可能にする。
• 干渉データからリーマン計量距離関数を再構成できる条件を確立し、屈折率の回復を可能にする。

提案手法

• 境界点 $ y \to S $ に1つの点源を設置し、球面の $ -y $ における接平面に、$ -y $ から離れた補助源 $ z^{(j)}(y) $ を配置し、3つの異なる位置をとる直角三角形を形成する。
• 各補助源からの照照明領域 $ S_+(z^{(j)}) $ を定義し、データに幾何的多様性を確保する。
• 波数 $ k \to \infty $ におけるヘルムホルツ型方程式の解の漸近展開を用い、全場がリーマン距離を含む2つの複素指数関数の和として振る舞うことを示す。
• 全場のモジュラスの2乗を導出し、$ k $ に関してほぼ周期的関数となることを示し、その振動はリーマン距離の差 $ \tau(x,z^{(j)}) - \tau(x,y) $ に依存する。
• 先行研究[12]の手続きを適用し、ほぼ周期関数の周期を抽出することで、距離差 $ \rho(x,y) = \tau(x,z^{(j)}) - \tau(x,y) $ を特定する。
• 3つの異なる補助源位置 $ z^{(1)}, z^{(2)}, z^{(3)} $ からのデータを組み合わせることで、すべての $ x,y \in S $ に対して $ \tau(x,y) $ を再構成し、逆運動的問題の解法を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 測定データが散乱場のみでなく、入射場＋散乱場の全場のモジュラスである場合に、位相なし逆問題を解くことは可能か？
• RQ2 実際の点源と補助点源からの干渉を用いることで、有界領域内での未知係数が一意に回復可能か？
• RQ3 高周波数における干渉データから、リーマン計量距離関数 $ \tau(x,y) $ を再構成できるか？
• RQ4 干渉データが古典的逆運動的問題に還元可能となる幾何的・漸近的条件は何か？
• RQ5 全場モジュラスが散乱場モジュラスの代わりに用いられた場合でも、解の一意性は保たれるか？

主な発見

• 3つの補助源を用いた観測点ごとの干渉設定のもとで、全場モジュラスデータを用いた位相なし逆問題は一意に解ける。
• 高周波数 $ k \geq k_0 $ における全場のモジュラスには、ほぼ周期的成分が含まれており、その周期は距離差 $ \tau(x,z^{(j)}) - \tau(x,y) $ を符号化しており、既知の手順により抽出可能である。
• 3つの異なる補助源位置 $ z^{(1)}, z^{(2)}, z^{(3)} $ からのデータを組み合わせることで、すべての $ x,y \in S $ に対して完全なリーマン距離 $ \tau(x,y) $ が再構成可能であり、逆運動的問題が解ける。
• $ S \times S $ 上での $ \tau(x,y) $ の再構成により、リーマン計量が単純であるという仮定の下で、$ \Omega_0 $ 内部の屈折率 $ n(x) $ を回復可能である。
• 問題は古典的逆運動的問題に還元可能であり、その分野では既に一意性および安定性の結果が確立されているため、本手法の有効性が裏付けられる。
• 条件 $ |z^{(j)}(y) + y| = \ell > R\sqrt{(1+2n_1)^2 - 1} $ により、位相差が十分に大きく、周期の明確な抽出が保証され、手法の実現可能性が保証される。