[論文レビュー] Phaseless inverse scattering problems in 3-d

Michael V. Klibanov|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2013

Numerical methods in inverse problems参考文献 29被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、波動場の位相が測定されないが、その絶対値のみが得られる3次元位相なし逆散乱問題における一意性定理を確立する。時間領域の定式化と、散乱波データのフーリエ変換から導かれるボルテラ積分方程式を活用することで、有界領域 $ \Omega $ 内のポテンシャル $ q(x) $ が、源点の近傍での位相なし測定によっても、ポテンシャルやデータに対する滑らかさの仮定を限定的にとることで一意に特定されることを証明する。

ABSTRACT

Uniqueness theorems are proved for 3-d inverse scattering problems in the frequency domain under the assumption that only the modulus of the complex valued wave field is measured, while the phase is unknown.

研究の動機と目的

• 3次元ポテンシャル $ q(x) $ を波動場の位相なし測定から再構成する課題に取り組み、長年の逆散乱分野の未解決問題を扱う。
• 位相が得られないという制限を克服し、位相ではなく絶対値 $ |u(x,x_0,k)|^2 $ のみが既知である場合の同定性を証明する。
• ポテンシャルと解の滑らかさに現実的で、最小限の滑らかさ仮定を必要としない $ C^2 $ や $ C^4 $ の仮定のもとで同定性結果を確立する。
• 従来、振幅と位相の両方が必要とされた1次元から3次元への位相なし逆散乱理論の拡張を実現する。
• コンパクトに台を持つ領域 $ \Omega $ 内のポテンシャル $ q(x) $ を、源点付近の局所的な振幅データのみを用いて再構成するフレームワークを提供する。

提案手法

• コンパクトに台を持つポテンシャル $ q(x) \in C^m(\mathbb{R}^3) $, $ m=2 $ または $ 4 $ を仮定し、シュレーディンガー方程式を用いて周波数領域で逆散乱問題を定式化する。
• 逆フーリエ変換を用いて周波数領域問題を時間領域問題に変換し、源項を含むハイパボリック波動方程式を得る。
• 時間領域の定式化を用いて、因果性と台の条件を活用し、散乱波およびその微分を含むボルテラ積分方程式を導出する。
• 時空面上の境界データ $ S \times (0,\infty) $ を持つハイパボリック方程式の同定性定理を適用し、測定された振幅が一致する場合に $ q_1(x) = q_2(x) $ が $ \Omega $ 内で成り立つことを保証する。
• 測定された $ |u(x,x_0,k)|^2 $ が一致することは、散乱波のフーリエ変換が一致することを意味し、時間領域の解 $ V_1 = V_2 $ が境界上で等しくなることを導く。
• 解の時間微分および高階微分を用いて、第二種ボルテラ積分方程式を構築し、二つのポテンシャルに対して散乱波が同一であることを証明することで、$ q_1 = q_2 $ を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元領域内のポテンシャル $ q(x) $ は、位相情報がなく、波動場の絶対値のみが測定可能な場合に、一意に再構成可能か？
• RQ2 測定が源点 $ x_0 $ の近傍に制限される場合、逆散乱問題の同定性は保たれるか？
• RQ3 $ C^2 $ や $ C^4 $ の滑らかさ仮定のもとで、最小滑らかさ仮定を不要とした場合に同定性が確立可能か？
• RQ4 位相なしデータのみが利用可能な場合に、時間領域手法を用いてポテンシャルを回復可能か？
• RQ5 測定領域およびデータ（振幅のみ）にどのような条件を課せば、二つの異なるポテンシャルが同じ測定強度を生じることを防げるか？

主な発見

• 二つのポテンシャル $ q_1 $ と $ q_2 $ に対して、測定された絶対値 $ |u(x,x_0,k)|^2 $ が $ \Omega $ 内で同一であれば、位相が未知であってもポテンシャル $ q(x) $ は一意に特定される。
• 同定性結果は $ q(x) $ に対して $ C^2 $ や $ C^4 $ の滑らかさ仮定のもとで成り立ち、$ m=4 $ を選ぶことで既存のハイパボリック方程式の同定性定理と整合性が保たれる。
• 証明は周波数領域問題を時間領域問題に変換することに依拠し、測定された振幅データが時間領域の解 $ V_1 = V_2 $ を境界 $ S \times (0,\infty) $ で等しくすることを導く。
• 時間領域の解が等しいことは、散乱波およびその微分が一致することを意味し、その結果、一意解を持つボルテラ積分方程式が得られ、ポテンシャルが同一であることを強制する。
• 時間区間が有限であっても、$ T > \text{diam}(G_1)/2 $ を満たす限り、結果は有効であり、実用的な測定ウィンドウに対応可能である。
• 系理により、源面 $ S $ 上の固定点 $ y \neq y_0 $ における単一の点測定 $ |u(y,y_0,k)|^2 $ が、波動場およびポテンシャルを一意に特定することが示される。