[論文レビュー] Phasing spaces of matroids

Emanuele Delucchi, Elia Saini|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2015

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、固定されたマトロイド M 上の位相マトロイドの位相クラスの空間を、組合せ的、代数的、幾何的アプローチを用いて導入し、特徴づける。この空間が内部 Tutte 群の Pontrjagin 双対の部分空間に同型であることを確立し、これにより内部 Tutte 群のランクを計算し、再向きクラスの上限を導出し、任意のランクにおいて実現不可能で、チロトープでない一様位相マトロイドが存在することを証明する。

ABSTRACT

We study the space of phasing classes of phased matroids over a fixed matroid M. We generalize methods of Gel'fand, Rybnikov and Stone and we obtain three different characterizations: one of combinatorial flavor, via projective phasings (in terms of the circuits and cocircuits of M), one algebraic, as a certain subspace of the Pontrjagin dual of the inner Tutte group of M, and one geometrical as a subspace of the torus $(S^1)^N$. As applications, we provide an effectively computable formula for the rank of the inner Tutte group, we give an upper bound on the number of reorientation classes of oriented matroids on M, we prove the existence of non-realizable, non-chirotopal uniform phased matroids in any rank and we show that the complements of complex hyperplane arrangements with the same uniform matroid are diffeomorphic.

研究の動機と目的

• 固定されたマトロイド M 上の位相マトロイドにおける位相クラスの構造を理解すること。
• Gel'fand, Rybnikov, および Stone の手法を一般化し、複数の方法で位相空間を特徴づけること。
• 位相空間の特徴づけから得られる計算的および位相的帰結を導出すること。
• 任意のランクにおいて実現不可能で、チロトープでない一様位相マトロイドが存在することを確立すること。
• 同じ一様マトロイドを持つ複素超平面配置の補集合が微分同相であることを示すこと。

提案手法

• M の回路および余回路に定義された射影的位相化を用いて、位相空間を組合せ的に特徴づける。
• 内部 Tutte 群の Pontrjagin 双対の部分空間として、位相空間を代数的に表現する。
• 位相空間をトーラス (S¹)^N の部分空間として幾何的に埋め込む。
• 内部 Tutte 群の構造を用いて、そのランクを実際に計算可能な式で導出する。
• 特徴づけを応用して、M 上の向き付きマトロイドの再向きクラスの数の上限を導出する。
• 幾何的埋め込みを活用して、同型の一様マトロイドを持つ複素超平面配置の補集合が微分同相であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定されたマトロイド M 上の位相マトロイドの位相クラスの空間の構造は何か？
• RQ2 組合せ的、代数的、幾何的手段を用いて、どのように位相空間を特徴づけられるか？
• RQ3 マトロイド M の内部 Tutte 群のランクは何か？ そして、これは実際に計算可能か？
• RQ4 任意のランクにおいて、実現不可能でチロトープでない一様位相マトロイドが存在するか？
• RQ5 同じ一様マトロイドを持つ複素超平面配置の補集合は微分同相か？

主な発見

• マトロイド M の内部 Tutte 群のランクを実際に計算可能な式で導出する。
• M 上の向き付きマトロイドの再向きクラスの数に対する上界を確立する。
• 任意のランクにおいて、実現不可能でチロトープでない一様位相マトロイドが存在する。
• 同じ一様マトロイドを持つ複素超平面配置の補集合は微分同相である。
• 位相クラスの空間は、内部 Tutte 群の Pontrjagin 双対の部分空間に同型である。
• 位相空間は自然にトーラス (S¹)^N の部分空間として埋め込まれる。