[論文レビュー] PhD thesis: Homological Quantum Codes Beyond the Toric Code

Nikolas P. Breuckmann|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 5

ひとこと要約

本博士論文は、双曲的および高次元格子を用いて、サーフェスコードを超える位相的量子符号を構築するフレームワークを提案する。Z2ホモロジーと多様体のセルレーションを活用することで、定数距離を有する2次元双曲符号と、1回の測定で故障に耐性を持つ4次元符号を構築し、改善された閾値と論理的量子ビット保護を示した。主な貢献は、デーンねじりと格子手術を用いた、距離と故障耐性論理ゲートを向上させた体系的な符号構築法である。

ABSTRACT

PhD thesis investigating homological quantum codes derived from curved and higher dimensional geometries. In the first part we will consider closed surfaces with constant negative curvature. We show how such surfaces can be constructed and enumerate all quantum codes derived from them which have less than 10.000 physical qubits. For codes that are extremal in a certain sense we perform numerical simulations to determine the value of their threshold. Furthermore, we give evidence that these codes can be used for more overhead efficient storage as compared to the surface code by orders of magnitude. We also show how to read and write the encoded qubits while keeping their connectivity low. In the second part we consider codes in which qubits are layed-out according to a four- dimensional geometry. Such codes allow for much simpler decoding schemes compared to codes which are two-dimensional. In particular, measurements do not necessarily have to be repeated to obtain reliable information about the error and the classical hardware performing the error correction is greatly simplified. We perform numerical simulations to analyze the performance of these codes using decoders based on local updates. We also introduce a novel decoder based on techniques from machine learning and image recognition to decode four-dimensional codes.

研究の動機と目的

• トーリック符号を超えるホモロジー代数を用いた位相的量子符号の一般的枠組みの構築を目的とする。
• 2次元における双曲的幾何の利用により、定数距離符号と高い論理的閾値を達成することを目的とする。
• 1回の測定で故障に耐性を持つ4次元格子への構築を拡張することを目的とする。
• 現実のノイズモデル下でのこれらの符号の性能と故障耐性閾値を分析することを目的とする。
• 格子手術とデーンねじりを用いて、故障耐性論理ゲートの実装を示すこと。

提案手法

• Z2ホモロジーと相対ホモロジー群を用いて、多様体のセルレーションから量子符号を構築する。
• 高次元における論理的演算子と符号距離の分析に、ポincare-Lefschetz双対性を適用する。
• 符号空間次元と位相的不変量の計算に、変形リトラクションと切除定理を用いる。
• 平面上および双曲的符号における格子手術とデーンねじりを用いて論理的ゲートを実装する。
• 局所的エネルギー障壁に基づくハスティングス風デコーダを4次元ホモロジー符号に設計する。
• 完全およびノイズのある測定モデル下での符号性能シミュレーションをモンテカルロ法で実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元の双曲的タイル張りは、トーリック符号と比較して定数距離と改善された閾値を有する量子符号を実現できるか？
• RQ2 2次元双曲符号の距離は符号サイズに対してどのようにスケーリングするか。パラメータの上限は何か？
• RQ3 4次元ホモロジー符号は1回の測定で故障に耐性を持てるか。相対ホモロジーはその構築において果たす役割は何か？
• RQ4 測定誤差を含む現実のノイズ下での2次元双曲符号の性能閾値は何か？
• RQ5 格子手術と位相的操作を用いて、これらの符号で論理的クリフォードゲートを故障耐性で実装する方法は何か？

主な発見

• 10,000量子ビット未満の2次元双曲符号は、定数距離 d = 4 を達成し、完全測定下で論理的閾値が1.2％と推定される。
• Tesseract Code と呼ばれる4次元ホモロジー符号は、パラメータ [[n = 6L⁴ −12L³ +10L² −4L+1, k=1, d=L²]] で1つの論理的量子ビットを符号化し、1回の測定で故障に耐性を持つ。
• 相対ホモロジー群 H₂(A,B) の次元が1であることは、符号が1つの論理的量子ビットを符号化していることを確認する。一方、H₁(A,B) = 0 および H₃(A,B) = 0 であるため、非自明な1サイクルや3コサイクルは存在しない。
• モンテカルロシミュレーションにより、ノイズのある測定下で符号の閾値が0.8％に低下するが、最適なQECラウンド数 T ≈ 10 が性能を向上させる。
• デーンねじりにより、平面的双曲符号における論理的ゲートの故障耐性実装が可能となり、論理的クリフォードゲートは格子手術によって実現可能である。
• 4次元符号のハスティングスデコーダは、局所的エネルギー障壁を最小化することで最小重みデコーディングを実現し、高次元格子における効率的な誤り訂正を可能にする。