[論文レビュー] Phononic band structure of honeycomb lattice with defects, using spectrally formulated finite element method

Sushovan Mukherjee, S. Gopalakrishnan|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2015

Acoustic Wave Phenomena Research参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、ヘキサゴナル格子における欠陥を有する・なしにかかわらず、フォノニクス帯構造を計算するため、スペクトル的定式化された有限要素法（SFEM）とブロッホ理論を組み合わせた手法を提案する。ビーム部材をティモシェンコ梁要素を用いて1次元波ガイドとしてモデル化し、その結果得られる固有値問題をウィットリック＝ウィリアムズ・アルゴリズムで解くことで、高周波数域においても高精度を達成するとともにメッシュの粗さを低減する。主な貢献は、縮退の破れやスーパセルモデルにおける偽のバンドを含む、欠陥に起因する帯構造の変更を解析するための堅牢なフレームワークを提供することにある。

ABSTRACT

A spectrally formulated finite element analysis based methodology has been proposed to calculate phononic band structure of reticulated honeycomb lattices having translationally invariant repetitive elements called unit cells. Bloch formulation captures dynamics of infinite structure through that of a unit cell. While conventional FEM is generally used for analyzing dynamics of such unit systems, here, constituent structural members are treated as 1D waveguide and modeled as Timoshenko beam frame element, enabling application of spectral FEM, suitable for accurately analyzing the dynamics, particularly efficient at very high frequencies. Using exact solutions as shape functions spares dense meshing. Resulting eigenvalue problem is solved by Wittrick-Williams method, an iterative scheme. Subsequently, band structures are obtained for supercells- units comprising multiple elemental unit cells; compared and reconciled with those obtained using elemental cell (termed primitive unit cell to distinguish from supercell). Primitive cell band structures are reconstructed from Supercell band structures. Supercell band structures show some spurious bands, which are explained in terms of band folding in the primitive cell band structure. Supercell allows treatment of defects as a periodic feature with certain defect density. Of particular observation in such band structures is the separation of bands, known as degeneracy breaking.

研究の動機と目的

• 多孔質ヘキサゴナル格子におけるフォノニクス帯構造を計算するための、計算的に効率的かつ高精度な手法の開発。
• 従来のFEMが高周波動的応答において抱える限界および、密接に近接した固有値の分解能の低さを克服すること。
• 欠陥をスーパセル内の周期的特徴として取り扱うことで、周期的格子における欠陥の体系的解析を可能とすること。
• 欠陥の幾何学的形状および密度が帯構造に与える影響、特に縮退の破れおよびバンド分裂の観点から調査すること。
• 将来の大規模シミュレーション、例えばモンテカルロ法や欠陥統計を想定した並列処理に適合可能なフレームワークの提供。

提案手法

• 各部材の波ガイド挙動を表現するために、1次元ティモシェンコ梁フレーム要素を用いて構造をモデル化する。
• ブロッホの定理により、無限に続く周期的構造を1つの単位胞に還元し、代表的な細胞を用いて全格子の解析が可能になる。
• スペクトル的有限要素定式化では、正確な動的形状関数が使用され、密なメッシュの必要性が排除され、高周波数域での精度が向上する。
• 得られた暗黙的固有値問題は、ウィットリック＝ウィリアムズ・アルゴリズムにより解かれる。このアルゴリズムは反復的に固有値の数を数え、位置を特定するが、固有値を漏れなく特定することができる。
• スーパセル（原始単位胞を複数含む）を用いて周期的欠陥をモデル化し、欠陥を有する格子の帯構造解析を可能にする。
• スーパセルの帯構造を原始セルの帯構造と比較・統合することで、バンド折り畳みに起因する偽のバンドが明らかになった。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スペクトル的有限要素法は、従来のFEMと比較して、高周波数フォノニクス帯構造の計算において、どのように精度と効率を向上させるか？
• RQ2 スーパセルに基づく帯構造に現れる偽のバンドは、何によって生じるのか？また、これは原始セルにおけるバンド折り畳みとどのように関係しているか？
• RQ3 異なる欠陥配置（例：不配位欠陥）は、フォノニクス帯構造にどのように影響を与えるか、特に縮退の破れの観点から。
• RQ4 欠陥は帯構造をどの程度変化させるか？平均パcent偏差を用いてその変化を定量化できるか？
• RQ5 提案手法は、並列処理を用いて大規模な欠陥統計やモンテカルロシミュレーションに拡張可能か？

主な発見

• 提案されたSFEM-Bloch手法は、正確な動的形状関数を用いることで、高周波数域においても高精度を達成し、密なメッシュの必要性を排除した。
• ウィットリック＝ウィリアムズ・アルゴリズムにより、暗黙的固有値問題が的確に解かれ、特に近接した固有値であっても、固有値が見逃されないことが保証された。
• スーパセルの帯構造にはバンド折り畳みに起因する偽のバンドが現れるが、原始セル帯構造と照合するための注意深い解析により、その原因が解明された。
• 欠陥は縮退の破れを引き起こし、バンド分裂として観察され、欠陥の強度が大きくなるほど分裂の大きさも増加した。
• 30%の剛性低下を示す6×6スーパセル内に1つの不配位欠陥を有する場合、帯構造の平均パーセント偏差は約0.03%であった。
• 対称性の考察により、特定の高対称性経路（例：OAおよびAB）では、欠陥の向きが異なっていても帯構造がほぼ同一であることが説明された。