[論文レビュー] Phonons as Goldstone Bosons

H. Leutwyler|ArXiv.org|Sep 25, 1996

Mechanical and Optical Resonators参考文献 2被引用数 59

ひとこと要約

この論文は、固体におけるフォノンが、自発的破れ翻訳対称性によってゴルドスン粒子として出現することを示しており、関連する隠れた対称性—電流代数およびウォード恒等式を通じて—必然的に非線形フォノン-フォノン相互作用を誘導することを示している。主な結果は、音波の伝播が本質的に非線形的であることであり、対称性によって制約された有効ラグランジアンは、低エネルギーのパイオン散乱におけるQCDと類似した、1次オーダーで独立した3つの結合定数しか含まない。

ABSTRACT

The implications of the hidden, spontaneously broken symmetry for the properties of the sound waves of a solid are analyzed. Although the discussion does not go beyond standard wisdom, it presents some of the known results from a different perspective. In particular, I argue that, as a consequence of the hidden symmetry, the equations of motion for a sound wave necessarily contain nonlinear terms, describing phonon-phonon scattering and emphasize the analogy with the low energy theorems for pion-pion scattering.

研究の動機と目的

• 有効場理論および自発的破れ対称性の観点から、固体におけるフォノンの低エネルギー行動を再解釈すること。
• アーベル群である全空間移動群であるにもかかわらず、なぜフォノン-フォノン散乱が避けられないかを明確にすること。
• 局所座標変換における対称代数の局所的構造—特に非アーベル性—が、フォノンの有効場理論に非線形相互作用を強制することを示すこと。
• 対称性の制約と電流代数を用いてフォノンの有効ラグランジアンを導出し、独立した結合定数の数を特定すること。
• フォノン相互作用と低エネルギー定理の間の形式的類似性を強調し、隠れた対称性の役割を明らかにすること。

提案手法

• 変位場 $\xi_a(x)$ を基本自由度とするフォノンの有効場理論を定式化すること。
• 微分の次数を増加させる順に項を並べる微分展開を用いて、有効ラグランジアン $\mathcal{L}_{\text{eff}}$ を構築すること。
• 電流代数と運動量密度 $\theta^{0a}$ 間の交換関係を適用し、ラグランジアンの結合定数を制約するウォード恒等式を導出すること。
• エネルギーおよび運動量の保存則と移動不変性を適用して、特定の項を排除し、独立結合定数の数を削減すること。
• 3つの独立パラメータ $L_1, L_2, L_3$ を用いて、ラグランジアンを明示的に共変な形に表現し、9つの結合定数 $l_1, \dots, l_9$ を完全に決定すること。
• $\xi_a$ とその共役運動量 $\pi^a$ 間のポisson括弧を用いて、ハミルトニアン力学とエネルギー運動量テンソルの時間発展と整合性を保証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜアーベル群である移動群であるにもかかわらず、固体におけるフォノンは必然的に互いに相互作用するのか？
• RQ2 特に局所座標変換の非アーベル性を示す局所的対称性構造—フォノンの有効場理論にどのような影響を与えるのか？
• RQ3 電流代数とウォード恒等式が、フォノンの有効ラグランジアンの形に課す制約は何か？
• RQ4 QCDにおける低エネルギーパイオン有効ラグランジアンと比較して、フォノンの有効ラグランジアンは、対称性によって決定される結合定数の観点からどのように類似しているか？
• RQ5 微分展開の1次オーダーでフォノン力学を記述するために必要な最小の独立結合定数の数は何か？

主な発見

• 固体における移動不変性の自発的破れは、フォノンがゴルドスン粒子として出現することをもたらし、保存運動量カレントに符号化された隠れた対称性が、フォノン間の非線形相互作用を必然的に誘導する。
• 電流代数から導かれるウォード恒等式は、有効ラグランジアンに非線形項を含む必要があることを示し、音波伝播が本質的に非線形的であることを示している。
• 対称性の制約により、有効ラグランジアンの独立結合定数の数は9つから3つに削減され、残りの結合定数はすべて $L_1, L_2, L_3$ によって完全に決定される。
• 運動項は、運動量密度の交換関係がゼロでないことに起因する項 $\partial_b \xi_b \dot{\xi}_a \dot{\xi}_a$ および $\partial_a \xi_b \dot{\xi}_a \dot{\xi}_b$ によって修正される。
• 結合定数 $l_7 = l_8 = l_9 = 0$ は、対称性により恒等的に消え、移動不変性を破る項が排除される。
• 有効理論の構造は、チャーミカル摂動論におけるパイオン散乱と類似しており、独立パrameterの数はローレンツ不変性ではなく、対称代数によって決定される。