[論文レビュー] Photon Antibunching, Sub-Poisson Statistics and Cauchy-Bunyakovsky and Bell's Inequalities

И. В. Волович|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2011

Quantum Mechanics and Applications参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、非古典的光の主要な兆候であるサブ・ポアソン光子統計と光子反ぶつれが、古典的確率的モデルでは記述できないことを厳密に示している。量子状態では分散対平均差 $ K $ が負である（例えば、$ n $ 粒子状態では $ K = -n $）こと、およびこれがコーシー＝ブニャコフスキーの不等式に違反することを示し、このような量子状態に対して古典的隠れ変数または確率的場の表現が不可能であることを証明している。

ABSTRACT

We discuss some mathematical aspects of photon antibunching and sub-Poisson photon statistics. It is known that Bell's inequalities for entangled states can be reduced to the Cauchy-Bunyakovsky inequalities. In this note some rigorous results on impossibility of classical hidden variables representations of certain quantum correlation functions are proved which are also based on the Cauchy-Bunyakovsky inequalities. The difference K between the variance and the mean as a measure of non-classicality of a state is discussed. For the classical case K is nonnegative while for the n-particle state it is negative and moreover it equals -n. The non-classicality of quantum states discussed here for the sub-Poisson statistics is different from another non-classicality called entanglement though both can be traced to the violation of the Cauchy-Bunyakovsky inequality.

研究の動機と目的

• サブ・ポアソン光子統計と光子反ぶつれを非古典的現象として厳密な数学的枠組みで確立すること。
• これらの状況における量子相関関数に対して、古典的確率的表現（隠れ変数）が不可能であることを証明すること。
• サブ・ポアソン統計による非古典性とエンタングルメントによる非古典性の違いを明確にすること、両者ともにコーシー＝ブニャコフスキーの不等式の違反に起因するが。
• 非古典性の指標としての測度 $ K = \langle \Delta n^2 \rangle - \langle n \rangle $ の導入と分析。
• 量子非古典性と基礎的不等式との間の関係を拡張し、サブ・ポアソン統計をベル型非局所性とコーシー＝ブニャコフスキーの不等式を通じて結びつけること。

提案手法

• サブ・ポアソン統計を分散対平均差 $ K = \langle a^{*2}a^2 \rangle - \langle a^*a \rangle^2 $ で定義し、$ K < 0 $ が非古典性を示すことを示す。
• 交換関係 $[a, a^*] = 1$ を用いて $ K = ||a^2\psi||^2 - ||a\psi||^4 $ を導出し、フォック状態に対して明示的な計算を可能にする。
• コーシー＝ブニャコフスキーの不等式を適用し、任意の古典的確率変数表現が $ K \geq 0 $ を満たす必要があることを示し、量子の結果と矛盾することを証明する。
• $ n $ 粒子状態が $ K = -n $ を与えることを証明し、これは古典確率と矛盾する負の値であり、古典的表現の不可能性を示す。
• 2時間相関関数 $ P(\tau) $ を用いて、$ \tau > 0 $ のとき $ P(\tau) > P(0) $ であることを反ぶつれの定義とし、古典的定常性制約に違反することを示す。
• $ P(\tau) > P(0) $ ならば、いかなる古典的マーカフ過程でもその相関を再現できないことを示し、非古典性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 サブ・ポアソン光子統計は、古典的隠れ変数モデルで記述可能か？
• RQ2 コーシー＝ブニャコフスキーの不等式は、量子状態の非古典的性質を確立するために果たす役割は何か？
• RQ3 量 $ K = \langle \Delta n^2 \rangle - \langle n \rangle $ は非古典性の定量的指標としてどのように機能するか？
• RQ4 サブ・ポアソン統計による非古典性とエンタングルメントによる非古典性の間に、根本的な差異はあるか？
• RQ5 反ぶつれ光のような時空依存性を示す非古典的状態の性質を、この枠組みを用いて体系的に分析可能か？

主な発見

• $ n $ 粒子フォック状態では、量 $ K $ は正確に $ -n $ に等しく、古典統計とは矛盾する明確な量子的特徴を示している。
• コーシー＝ブニャコフスキーの不等式により、古典的モデルは $ K \geq 0 $ を満たさねばならず、しかし量子状態はこれを破るため、古典的隠れ変数表現の不可能性が証明される。
• 光子反ぶつれは $ \tau > 0 $ のとき $ P(\tau) > P(0) $ として定義され、これはいかなる古典的定常確率過程でも再現できない。
• サブ・ポアソン状態では測度 $ K $ が負であり、ポアソン（コherent）状態ではゼロとなるため、古典的光と量子的光の定量的区別が可能になる。
• サブ・ポアソン統計による非古典性とエンタングルメントによる非古典性の両者とも、コーシー＝ブニャコフスキーの不等式の違反に起因するが、物理的に異なる現象を表している。
• 本論文は、基礎的量子不等式と観測可能な非古典的光の性質（反ぶつれ、サブ・ポアソン統計）との間の厳密な数学的関係を確立している。