[論文レビュー] Physical Diffeomorphisms in Loop Quantum Gravity

Tim Koslowski|ArXiv.org|Oct 5, 2006

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ループ量子重力（LQG）における物理的微分同相写像が、分離可能で物理的に一貫したヒルベルト空間を保証するために、階層的解析的微分同相写像に制限されなければならないと提唱する。量子ヒルベルト空間が古典的微分同相写像軌道の完備化であることを要求することで、スピンネットワークの軌道が knot 群とスピン量子数によってラベル付けられ、可算集合を形成することを示し、結果として分離可能で微分同相写像不変なヒルベルト空間が得られ、スピン・ノット基底を備える。

ABSTRACT

We investigate the action of diffeomorphisms in the context of Hamiltonian Gravity. By considering how the diffeomorphism-invariant Hilbert space of Loop Quantum Gravity should be constructed, we formulate a physical principle by demanding, that the gauge-invariant Hilbert space is a completion of gauge- (i.e. diffeomorphism-)orbits of the classical (configuration) variables, explaining which extensions of the group of diffeomorphisms must be implemented in the quantum theory. It turns out, that these are at least a subgroup of the stratified analytic diffeomorphisms. Factoring these stratified diffeomorphisms out, we obtain that the orbits of graphs under this group are just labelled by their knot classes, which in turn form a countable set. Thus, using a physical argument, we construct a separable Hilbert space for diffeomorphism invariant Loop Quantum Gravity, that has a spin-knot basis, which is labelled by a countable set consisting of the combination of knot-classes and spin quantum numbers. It is important to notice, that this set of diffeomorphism leaves the set of piecewise analytic edges invariant, which ensures, that one can construct flux-operators and the associated Weyl-operators. A note on the implications for the treatment of the Gauss- and the Hamilton-constraint of Loop Quantum Gravity concludes our discussion.

研究の動機と目的

• ループ量子重力の運動論的ヒルベルト空間における長年の非分離性の問題を解決すること。
• 量子理論におけるゲージ対称性として作用すべき物理的に正しい微分同相写像群を特定すること。
• 数学的便宜ではなく物理的原理に基づいて、特定の部分群の使用を正当化すること。
• 得られるヒルベルト空間が分離可能であり、スピン・ノット基底を備えていることを示すこと。
• ゲージ完備化の物理的必要性と、フラックス演算子のような量子幾何構造の保存を調和させること。

提案手法

• 物理的原理の定式化：ゲージ不変なヒルベルト空間は、古典的ゲージ（微分同相写像）軌道の完備化でなければならない。
• 階層的解析的微分同相写像の部分群のみが、区分的解析的エッジの構造を保存し、軌道の完備性を保証することを同定。
• この群によるスピンネットワークの軌道が、ノット群とスピン量子数によって分類され、可算集合を形成することを証明。
• これらの軌道の完備化として物理的ヒルベルト空間を構成し、スピン・ノット基底を導出。
• フラックス演算子とウイル演算子がこの群の下でも適切に定義されることを検証し、量子幾何を保存。
• 群平均化とリギング写像の技術を用いて、ゲージ不変性と量子代数との整合性を保証。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ループ量子重力において、物理的ゲージ対称性として実装すべき微分同相写像群は何か？
• RQ2 微分同相写像不変なLQGに対して、分離可能で物理的に一貫したヒルベルト空間を構成できるか？
• RQ3 階層的解析的微分同相写像に制限することで、フラックス演算子のような量子幾何の物理的構造が保存されるか？
• RQ4 古典的ゲージ軌道の完備化としてヒルベルト空間を構築でき、物理的整合性を保証できるか？
• RQ5 提案された微分同相写像群の下で、共変的に変換する量子幾何のバージョンは存在するか？

主な発見

• ループ量子重力の物理的ヒルベルト空間は、ゲージ群を階層的解析的微分同相写像に制限することで分離可能になる。
• この群によるスピンネットワークの軌道は、ノット群とスピン量子数によってラベル付けされ、可算集合を形成する。
• 得られるヒルベルト空間はスピン・ノット基底を備え、完全で分離可能かつ物理的に一貫した量子状態空間を提供する。
• 階層的解析的微分同相写像は、エッジの区分的解析的構造を保存し、フラックス演算子とウイル演算子が適切に定義されることを保証する。
• 提案された群の下で、量子幾何のバージョンが共変的に変換され、その物理的妥当性を支持する。
• ゲージ軌道の完備化という物理的必要性と、分離可能性と演算子定義の数学的妥当性の間の矛盾を解消する。