[論文レビュー] Physical Measures for Certain Partially Hyperbolic Attractors on 3-Manifolds

Ricardo Bortolotti|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 37被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、3次元多様体上の部分的双曲的吸引子に対して、中心方向が中立的である場合に、安定葉からの投影による不安定葉間の横断的条件を満たす限り、物理的測度の存在と有限性を確立する。u-Gibbs状態が安定射影のもとで絶対連続測度に写されるのを示し、それらが物理的測度と一致することを示しており、その吸引域はLebesgue測度の全範囲を占める。この結果は、横断的条件および正則性条件を満たすロバスト非双曲的吸引子へと拡張可能である。

ABSTRACT

In this work, we study ergodic properties of certain partially hyperbolic attractors whose central direction has a neutral behavior, the main feature is a condition of transversality between unstable leaves when projected by the stable holonomy. We prove that partial hyperbolic attractors satisfying conditions of transversality between unstable leaves via the stable holonomy, neutrality in the central direction and regularity of the stable foliation admits a finite number of physical measures, coinciding with the ergodic u-Gibbs States, whose union of the basins has full Lebesgue measure. Moreover, we describe the construction of a family of robustly nonhyperbolic attractors satisfying these properties.

研究の動機と目的

• 中心リャプノフ指数が0である3次元多様体上の部分的双曲的吸引子に対して、物理的測度の存在と有限性を確立すること。
• 一様双曲的および非一様双曲的系を超えて、中心方向が中立的である場合の物理的測度理論を拡張すること。
• 物理的測度の存在と有限性を保証する幾何的条件—安定foliationによる投影された不安定葉の横断的性質—を提供すること。
• 横断的条件、中立性、正則性条件を満たすロバスト非双曲的吸引子を構成し、そのような系の存在を示すこと。

提案手法

• 中心不安定多様体上の有限測度に対して、密度正則性を図るL2型ノルムを用いた修正されたDoeblin-Fortet（Lasota-Yorke）不等式を導入する。
• 安定foliationを介した射影作用素を定義し、u-Gibbs状態を中心不安定多様体上に写像する。横断的性質を活用して、射影測度の絶対連続性を保証する。
• Banach空間上の連続関数の収縮写像による議論を用いて、不安定foliationのHölder正則性を構成する。中心方向の中立的挙動に依存する。
• 微小なC1摂動に対する安定性を示すために摂動論的議論を適用し、横断的条件および正則性条件が摂動下でも安定することを示す。
• 錐場の議論を用いて、摂動下でも不安定方向が横断的であることを証明し、横断的条件が開近傍内で保持されることを保証する。
• 中立的中心ダイナミクスを有する基本微分同相写像を変形することで、ロバスト非双曲的吸引子の明示的構成を行う。これにより、必要な幾何的および正則性条件を満たすことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分的双曲的吸引子が中立的中心方向を有する場合、どのような幾何的および力学的条件下で有限個の物理的測度が存在するか？
• RQ2 安定foliationによる投影された不安定葉の横断的性質が、u-Gibbs状態が物理的測度であることを保証できるか？
• RQ3 中心方向が中立的である場合、物理的測度の存在と有限性は微小なC1摂動に対してロバストか？
• RQ4 横断的条件および正則性条件を満たすロバスト非双曲的吸引子を構成できるか？

主な発見

• 投影された不安定葉間の横断的性質、中立的中心方向、Lipschitz安定foliationを満たす部分的双曲的吸引子は、有限個の物理的測度を持つ。
• 物理的測度は、正確にエルゴード的u-Gibbs状態と一致し、それらの吸引域は吸引域のLebesgue測度の全範囲を占める。
• 横断的条件により、u-Gibbs状態の局所的安定射影が中心不安定多様体上に絶対連続測度をもたらし、これが物理的測度として同定する鍵となる。
• 横断的条件、中立性、安定foliationの正則性を満たすロバスト非双曲的吸引子は存在し、明示的に構成可能である。
• 安定foliationは基本微分同相写像の近傍でC1連続であり、これにより結果が開集合内の系に対して成立する。
• 吸引子は、異なるインデックスの周期点を有することにより、ロバストにトランジット的かつ非双曲的であることが確認され、構成のロバスト性が裏付けられる。