[論文レビュー] Physical Principles and Properties of Unstable States

Piotr Kielanowski|ArXiv.org|Dec 21, 2003

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、不安定な量子状態を、複素固有値を伴うハミルトニアンの一般化固有ベクトルとして表現する、きめ細やかな数学的枠組みを、装備されたヒルベルト空間（RHS）形式を用いて提案する。主な貢献は、共鳴状態における時間非対称な量子力学的時間発展を導出し、複素質量固有値に支配される指数関数的崩壊を通じて、時間の根本的な矢印を導入し、ユニタリティと漸近的場に不安定状態が存在しないことの両立を図ることにある。

ABSTRACT

The main subject of the paper is the description of unstable states in quantum mechanics and quantum field theory. Unstable states in quantum field theory can only be introduced as the intermediate states and not as asymptotic states. The absence of the intermediate unstable states from the asymptotic states is compatible with unitarity. Thus the concept of an unstable state is not introduced in quantum field theory despite the fact that an unstable state has well defined linear momentum, angular momentum and other intrinsic quantum numbers. In the rigged Hilbert space quantum mechanics one can define vectors that correspond to the unstable states. These vectors are the generalized eigenvectors (kets in the rigged Hilbert space) with complex eigenvalues of the self-adjoint Hamiltonian. The real part of the eigenvalue corresponds to the mass of an unstable state and the imaginary part is one half of the total width. Such vectors form the minimally complex semigroup representation of the Poincaré transformations into the forward light cone.

研究の動機と目的

• 標準的量子力学および量子場理論における不安定な量子状態を記述する基礎的問題を解決すること。
• 非正規化可能で複素エネルギーを持つ波動関数であるため、不安定状態がヒルベルト空間形式と不整合を示す問題に対処すること。
• 装備されたヒルベルト空間を用いて、共鳴状態を数学的に一貫した形で記述し、不安定状態を一般化固有ベクトルとして定義すること。
• 量子場理論における複素質量固有値の役割と、S行列の極構造との関連を明確にすること。
• 不安定状態に対する時間非対称な時間発展を導入し、崩壊とユニタリ散乱過程を区別すること。

提案手法

• 上半平面におけるハーディークラス関数の空間 $ \Phi_{+} $ を含む、装備されたヒルベルト空間（RHS）形式のチェーン $ \Phi_{+} \subset \mathcal{H} \subset \Phi_{+}^{\times} $ を用いる。
• ゲンマウケットをハミルトニアンの一般化固有ベクトルとして定義する：$ |[j,\textsf{s}_{\text{R}}]b^{-}\rangle = \frac{i}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} |[j,\textsf{s}]b^{-}\rangle \frac{1}{\textsf{s}-\textsf{s}_{\text{R}}} $、これは複素エネルギーを伴う不安定状態を表す。
• 複素固有値 $ \textsf{s}_{\text{R}} = (E_{\text{R}} - i\Gamma_{\text{R}}/2)^2 $ を、不安定状態の二乗複素質量として特定し、第二シート上のS行列の極と関連付ける。
• ゲンマウ状態の時間発展を導出する：$ e^{-iH^{\times}t} |[j,\textsf{s}_{\text{R}}]b^{-}\rangle = e^{-iE_{\text{R}}t} e^{-\Gamma_{\text{R}}t/2} |[j,\textsf{s}_{\text{R}}]b^{-}\rangle $（$ t \geq 0 $ に対して）、指数的崩壊をもたらす。
• 相対論的不安定状態を記述するため、前進光円錐に制限されたPoincaré群の最小限の複素半群表現を構成する。
• ユニタリ時間発展とは異なる、ゲンマウケットの時間非対称な時間発展を通じて、量子力学的時間の矢印を新たに確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不安定な量子状態がヒルベルト空間において正規化不可能で実固有値を持たない場合、量子力学において一貫して記述することは可能か？
• RQ2 なぜ不安定状態が量子場理論における漸近的状態に存在しないのか、そしてこれはユニタリティとどのように両立できるのか？
• RQ3 共鳴状態の記述において、複素固有値が果たす数学的役割は何か？ そして、S行列の極とどのように関連するか？
• RQ4 装備されたヒルベルト空間形式が、ゲンマウ状態およびその時間発展の厳密な基礎をどのように提供するか？
• RQ5 崩壊過程における時間非対称性の起源は何か？ そして、不安定状態の力学にどのように符号化されているか？

主な発見

• 量子力学における不安定状態は、標準的ヒルベルト空間ではなく、装備されたヒルベルト空間における一般化固有ベクトルとして表現される。
• 複素固有値 $ \textsf{s}_{\text{R}} = (E_{\text{R}} - i\Gamma_{\text{R}}/2)^2 $ は、不安定状態の二乗複素質量に対応し、$ E_{\text{R}} $ は共鳴エネルギー、$ \Gamma_{\text{R}} $ は全崩壊幅を表す。
• ゲンマウケットの時間発展は $ t \geq 0 $ に制限され、寿命 $ \tau = 1/\Gamma_{\text{R}} $ に従う指数的崩壊を生じる。これは実験的崩壊法則と整合的である。
• ゲンマウベクトルは、前進光円錐に制限されたPoincaré群の半群表現を形成し、量子理論における根本的な時間の矢印を導入する。
• RHS形式は、場の理論のルール $ M^2 \to M^2 - iM\Gamma $ を正当化し、複素質量とS行列の極位置を結びつける。
• ゲンマウ状態の時間非対称な時間発展は、ユニタリ漸近状態とは異なり、量子崩壊過程における時間の矢印の動的起源を提供する。