[論文レビュー] Physics-aware deep learning framework for linear elasticity

Arunabha M. Roy, Rikhi Bose|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2023

Model Reduction and Neural Networks被引用数 9

ひとこと要約

本論文は、物理情報を用いたニューラルネットワーク（PINN）フレームワークを線形弾性問題の解法に適用し、PDE残差、境界条件、材料の構成則、データ情報項を強制する多目的損失を用い、各場変数ごとに独立したANNを用いる。

ABSTRACT

The paper presents an efficient and robust data-driven deep learning (DL) computational framework developed for linear continuum elasticity problems. The methodology is based on the fundamentals of the Physics Informed Neural Networks (PINNs). For an accurate representation of the field variables, a multi-objective loss function is proposed. It consists of terms corresponding to the residual of the governing partial differential equations (PDE), constitutive relations derived from the governing physics, various boundary conditions, and data-driven physical knowledge fitting terms across randomly selected collocation points in the problem domain. To this end, multiple densely connected independent artificial neural networks (ANNs), each approximating a field variable, are trained to obtain accurate solutions. Several benchmark problems including the Airy solution to elasticity and the Kirchhoff-Love plate problem are solved. Performance in terms of accuracy and robustness illustrates the superiority of the current framework showing excellent agreement with analytical solutions. The present work combines the benefits of the classical methods depending on the physical information available in analytical relations with the superior capabilities of the DL techniques in the data-driven construction of lightweight, yet accurate and robust neural networks. The models developed herein can significantly boost computational speed using minimal network parameters with easy adaptability in different computational platforms.

研究の動機と目的

• 線形弾性の物理法則をディープラーニングフレームワークに組み込み、堅牢でデータ効率の良い解法を実現する。
• PDE残差、境界条件、材料の構成則を満たす多目的損失を満たす。
• 古典的な弾性のベンチマークを解くことにより、軽量で正確なニューラルネットワークを示す。
• スマートな初期化と解析解が学習速度と精度を向上させることを示す。
• さまざまな弾性問題とネットワークアーキテクチャに対するフレームワークの適応性を示す。

提案手法

• 2D弾性において、各場変数（u、σ、ε）を近似する独立した密結合型ANNを使用する。
• PDE残差、境界条件ペナルティ、およびデータ適合項を含む多目的損失ΔLを定式化する。
• 適合性、平衡、材料の構成則を、ΔΩ、Δe、ΔΓu、ΔΓt、およびデータ項を通じて損失に埋め込む。
• 自動微分を適用して、PDE残差と材料方程式に必要な導関数を計算する。
• 異なる活性化関数とアーキテクチャを検討し、学習時間を短縮するためのスマート初期化を用いる。
• 平面応力端部荷重ばねのAiry解や Kirchhoff–Love薄板などのベンチマーク問題を解いて精度を検証する。

Figure 1 : PINNs network architecture for solving linear elasticity problem consisting of multi-ANN ( $\mathsf{NN}_{i}\,\forall\,i=1,k$ ) for each output variables $\tilde{\mathsf{u}}^{\mathsf{NN}}_{x}(\mbox{\boldsymbol{$x$}})$ , $\tilde{\mathsf{u}}^{\mathsf{NN}}_{y}(\mbox{\boldsymbol{$x$}})$ , $\ti

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 PINNをどのように構成して、線形弾性の支配方程式（適合性、平衡、材料の構成則）を多目的損失の中で強制することができるか。
• RQ2 データ駆動の物理知識項と境界条件ペナルティを含めることが、弾性問題の精度とロバスト性に与える影響はどのようか。
• RQ3 変位、応力、ひずみの独立したANNが、2D弾性において最小のネットワークパラメータで正確な解を得られるか。
• RQ4 ネットワークアーキテクチャと活性化関数の選択が、弾性PINNの性能にどう影響するか。
• RQ5 スマート初期化と解析解を活用して学習を加速させる利点は何か。

主な発見

• 多目的PINNフレームワークは、評価した弾性問題に対して解析解と優れた一致を示す。
• u、σ、εの独立したANNは、同じPINNフレームワーク内でそれぞれの場を正確に近似できる。
• 損失にPDE残差、材料の構成則、境界条件を組み込むことは、標準的なデータ駆動手法よりロバスト性を向上させる。
• スマート初期化と解析的洞察は、精度を向上させつつ学習時間を短縮できる。
• この手法は、線形弾性のテストにおいて従来解と比較して計算速度の向上とパラメータ効率を示す。

Figure 2 : (a) Elastic plane-stress problem for an end-loaded cantilever beam of length $L$ , height $2a$ and out-of-plane thickness $b$ which has been clamped at $x=L$ ; (b) distributions of total collocations points $N_{c}=5,000$ on the problem domain and various boundaries during PINNs training.