[論文レビュー] Physics-Informed Neural Network for the Transient Diffusivity Equation in Reservoir Engineering

Daniel Badawi, Eduardo Gildin|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2023

Model Reduction and Neural NetworksPhysics and Astronomy被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、剛性を克服するためのドメイン分解を用いて、貯留層工学における一時的拡散方程式を解くための物理情報付きニューラルネットワーク（PINN）フレームワークを提案する。この手法により、圧力および流量の予測が高精度で可能となり、圧力予測の相対L2誤差が0.2%未満に抑えられ、井筒閉鎖を必要とせずに透水係数や境界までの距離といった貯留層特性を推定できる逆問題能力を示した。これは、リアルタイム貯留層解析に適したものである。

ABSTRACT

Physics-Informed machine learning models have recently emerged with some interesting and unique features that can be applied to reservoir engineering. In particular, physics-informed neural networks (PINN) leverage the fact that neural networks are a type of universal function approximators that can embed the knowledge of any physical laws that govern a given data-set in the learning process, and can be described by partial differential equations. The transient diffusivity equation is a fundamental equation in reservoir engineering and the general solution to this equation forms the basis for Pressure Transient Analysis (PTA). The diffusivity equation is derived by combining three physical principles, the continuity equation, Darcy's equation, and the equation of state for a slightly compressible liquid. Obtaining general solutions to this equation is imperative to understand flow regimes in porous media. Analytical solutions of the transient diffusivity equation are usually hard to obtain due to the stiff nature of the equation caused by the steep gradients of the pressure near the well. In this work we apply physics-informed neural networks to the one and two dimensional diffusivity equation and demonstrate that decomposing the space domain into very few subdomains can overcome the stiffness problem of the equation. Additionally, we demonstrate that the inverse capabilities of PINNs can estimate missing physics such as permeability and distance from sealing boundary similar to buildup tests without shutting in the well.

研究の動機と目的

• 井筒付近での急激な圧力勾配のため、多孔質媒質における一時的拡散方程式の剛性が、数値的・解析的解法の実現を妨げる問題を解決する。
• 支配方程式（PDE）および境界条件を損失関数に直接埋め込むことで、メッシュフリーな解の近似を実現する物理情報付きニューラルネットワーク（PINN）手法を開発する。
• 井筒閉鎖を必要としない生産率履歴データのみを用いて、透水係数や気密境界までの距離といった未知の貯留層特性を推定できるPINNの逆問題能力を実証する。
• 従来の数値的手法の限界を克服し、時間的・空間的に連続した圧力および流量の予測をリアルタイムで可能にする。
• 円形貯留層における2次元径方向流れの状況において、一定底部圧力および一定生産率条件を含むPINNフレームワークを拡張する。

提案手法

• 拡散方程式の残差項、初期条件、境界条件、およびサブドメイン界面における連続性制約を含む複合損失関数を最小化するようにPINNを訓練する。
• 空間的ドメインを3つのサブドメイン（井筒近傍、中間領域、遠方領域）に分割することで、剛性を軽減し、学習安定性を向上させるドメイン分解戦略を実装する。
• サブドメイン界面における圧力および圧力勾配の連続性を損失関数内のペナルティ項によって強制し、解の滑らかさを確保する。
• ニューラルネットワークにおける自動微分を活用して、空間および時間に関する圧力の微分を計算し、流量推定に直接ダルシーの法則を適用する。
• ラベル付きデータ（事前のシミュレーションや実験からのデータ）を一切使用せず、PDEおよび境界条件のみを用いて、教師なしでPINNを訓練する。
• 逆PINNフレームワークを適用し、未知の貯留層パラメータ（例：透水係数、境界距離）をトレーニング中に最適化可能な変数として扱い、観測された生産率履歴データを用いて最適化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 物理情報付きニューラルネットワーク（PINN）は、井筒周辺での急激な勾配が生じる状況においても、1次元および2次元の一時的拡散方程式の解を高精度に近似できるか？
• RQ2 ドメイン分解は、多孔質媒質における径方向拡散方程式のPINNの学習収束性および解の精度を向上させるためにどの程度有効であるか？
• RQ3 井筒閉鎖を要しない生産率履歴データのみを用いて、PINNは透水係数や気密境界までの距離といった未知の貯留層特性をどの程度正確に推定できるか？
• RQ4 PINNフレームワークは、時間的・空間的に連続的かつ解析的解に類似した圧力および流量の解を提供できるか？これにより、リアルタイム貯留層解析および即時予測が可能になるか？
• RQ5 一定底部圧力および一定生産率の両状況において、PINNベースの手法は高精度な数値シミュレーションと比較してどの程度の精度を示すか？

主な発見

• ドメイン分解を施したPINNは、一定底部圧力および一定生産率の両ケースにおいて、高精度な数値解と比較して圧力予測の相対L2誤差が0.2%未満に抑えられた。
• PINNフレームワーク内で自動微分を用いてダルシーの法則を適用した流量予測は、高精度な数値解と比較して相対L2誤差が1.5%未満に抑えられた。
• 逆PINNは、井筒閉鎖を要しない生産率履歴データのみを用いて、透水係数および気密境界までの距離を正確に推定できた。これは、通常は圧力再圧力試験や生産率一時停止試験に依存するが、本手法ではその必要がなくなることを示している。
• ドメイン分解法により、井筒周辺の高勾配領域を専用サブドメインとして分離することで、学習安定性および解の精度が顕著に向上した。
• PINNフレームワークにより、空間的・時間的連続で微分可能な解が得られ、離散的な数値的時間ステップに依存せず、即時の圧力および流量予測が可能になった。
• 本手法は、さまざまな境界条件および流れの状態にわたり高いロバスト性を示し、線形および半対数圧力プロットの両方において一貫した精度を維持した。