[論文レビュー] Physics-informed neural networks for inverse problems in supersonic flows

Ameya D. Jagtap, Zhiping Mao+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2022

Model Reduction and Neural Networks参考文献 33被引用数 295

ひとこと要約

本稿では、エーラー方程式、エントロピー条件、正値制約を組み込んだ2次元の超音速圧縮流における困難な逆問題を解くために、物理に基づくニューラルネットワーク（PINNs）およびその拡張版であるドメイン分解型PINNs（XPINNs）を提案する。XPINNsは、局所的で高容量のネットワークを可能にすることで、衝撃波および膨張波問題における精度を標準PINNsより向上させ、複雑で不連続な解に対して優れた性能を示す理論的一般化バウンドがその改善を裏付けている。

ABSTRACT

Accurate solutions to inverse supersonic compressible flow problems are often required for designing specialized aerospace vehicles. In particular, we consider the problem where we have data available for density gradients from Schlieren photography as well as data at the inflow and part of wall boundaries. These inverse problems are notoriously difficult and traditional methods may not be adequate to solve such ill-posed inverse problems. To this end, we employ the physics-informed neural networks (PINNs) and its extended version, extended PINNs (XPINNs), where domain decomposition allows deploying locally powerful neural networks in each subdomain, which can provide additional expressivity in subdomains, where a complex solution is expected. Apart from the governing compressible Euler equations, we also enforce the entropy conditions in order to obtain viscosity solutions. Moreover, we enforce positivity conditions on density and pressure. We consider inverse problems involving two-dimensional expansion waves, two-dimensional oblique and bow shock waves. We compare solutions obtained by PINNs and XPINNs and invoke some theoretical results that can be used to decide on the generalization errors of the two methods.

研究の動機と目的

• 衝撃波および不連続性を含む超音速圧縮流における、適切でない逆問題を解く難しさに対処すること。
• 全境界条件と大きな計算領域を必要とする従来の数値スローバーの限界を克服すること。
• スレリエン密度勾配や境界条件などのスパarsな部分データから、密度、速度、圧力といった全流れ状態を推定するメッシュフリーでデータ駆動のアプローチを、PINNsおよびXPINNsを用いて開発すること。
• エントロピー条件および密度と圧力の正値制約を用いて物理的整合性を確保し、物理的に意味のある解を得ること。
• 複雑な超音速流れの設定において、PINNsとXPINNsの予測精度および一般化性能を比較すること。

提案手法

• 圧縮流のエーラー方程式を損失関数に直接埋め込むことで、メッシュフリーな前向きおよび逆問題の解法が可能な物理に基づくニューラルネットワーク（PINNs）を採用する。
• 空間的ドメイン分解を用いてPINNsを拡張し、衝撃波などの複雑な流れ特徴を示す部分領域で局所最適化された高容量のニューラルネットワークを可能にするXPINNsを構築する。
• 不連続性の存在下でも物理的整合性を保つために、損失関数にエントロピー条件を追加制約として組み込む。
• 物理的に非現実的なネットワーク出力を防ぐために、密度および圧力の正値制約を強制する。
• 勾配と不連続性が急激な問題における訓練安定性および収束性を向上させるために、適応的活性化関数および動的損失重み付けを用いる。
• 先行研究からの理論的一般化バウンドを活用し、PINNsとXPINNsの一般化性能を分析・比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 PINNsおよびXPINNsは、スレリエン密度勾配や部分境界条件を含むスパarsなデータから、全超音速流れ状態（密度、速度、圧力）を正確に再構成できるか？
• RQ2 XPINNsにおけるドメイン分解は、衝撃波および膨張波を含む逆問題において、標準PINNsと比較して解の精度および一般化性能をどのように向上させるか？
• RQ3 エントロピー条件および正値制約は、圧縮流の逆問題におけるPINNベースの解の物理的忠実性および安定性をどの程度向上させるか？
• RQ4 適応的活性化関数および動的損失重みは、不連続性を伴う問題においてPINNおよびXPINN解の収束性および精度にどのように影響を与えるか？
• RQ5 一般化バウンドからの理論的知見は、複雑な流れシナリオにおいてXPINNsがPINNsを上回る性能を示す理由をどのように裏付けるか？

主な発見

• XPINNsは、斜め衝撃波、膨張波、バッシュ・ショックを含む逆問題において、密度、圧力、速度場の点対点相対誤差が低いことから、PINNsよりも顕著に高い予測精度を達成している。
• 適応的活性化関数および動的損失重みの使用は、固定活性化関数および固定重みと比較して、収束性および精度の向上をもたらした。
• エントロピー条件および密度・圧力の正値制約の強制は、特に正しい衝撃構造を捉え、非物理的振動を回避する上で、物理的に整合性のある解をもたらした。
• 理論的一般化バウンドは、各部分ドメインにおける局所的複雑性が低減されているため、XPINNsが一般化性能に優れていることを示唆しているが、部分ドメインあたりのデータが減少するため過学習のリスクは存在する。
• XPINNsにおけるドメイン分解により、衝撃波面などの解の複雑性が高まる領域で局所的に強力なネットワークを構築でき、不連続な特徴のより正確な解像度が達成された。
• バッシュ・ショック問題において、XPINNsは密度および圧力の点対点相対誤差がドメイン全体で一貫して10^-3未満であり、PINNsが不連続性付近で高い誤差集中を示すのと比較して優れた性能を示した。