[論文レビュー] Physics-informed neural networks for solving forward and inverse flow problems via the Boltzmann-BGK formulation

Qin Lou, Xuhui Meng+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2020

Model Reduction and Neural Networks参考文献 87被引用数 167

ひとこと要約

本稿では、ボルツマン-BGK方程式を用いて多スケール流れの前方および逆問題を解くための物理知見に基づくニューラルネットワークフレームワーク、PINN-BGKを提案する。分布関数を平衡状態成分と非平衡状態成分に分解し、偏微分方程式および境界条件を損失最小化によって強制することで、境界条件が不明であっても、内部測定値が限られている状況でも、連続的および希薄な流れ領域における速度場の高精度再構成が可能となる。

ABSTRACT

In this study, we employ physics-informed neural networks (PINNs) to solve forward and inverse problems via the Boltzmann-BGK formulation (PINN-BGK), enabling PINNs to model flows in both the continuum and rarefied regimes. In particular, the PINN-BGK is composed of three sub-networks, i.e., the first for approximating the equilibrium distribution function, the second for approximating the non-equilibrium distribution function, and the third one for encoding the Boltzmann-BGK equation as well as the corresponding boundary/initial conditions. By minimizing the residuals of the governing equations and the mismatch between the predicted and provided boundary/initial conditions, we can approximate the Boltzmann-BGK equation for both continuous and rarefied flows. For forward problems, the PINN-BGK is utilized to solve various benchmark flows given boundary/initial conditions, e.g., Kovasznay flow, Taylor-Green flow, cavity flow, and micro Couette flow for Knudsen number up to 5. For inverse problems, we focus on rarefied flows in which accurate boundary conditions are difficult to obtain. We employ the PINN-BGK to infer the flow field in the entire computational domain given a limited number of interior scattered measurements on the velocity with unknown boundary conditions. Results for the two-dimensional micro Couette and micro cavity flows with Knudsen numbers ranging from 0.1 to 10 indicate that the PINN-BGK can infer the velocity field in the entire domain with good accuracy. Finally, we also present some results on using transfer learning to accelerate the training process. Specifically, we can obtain a three-fold speedup compared to the standard training process (e.g., Adam plus L-BFGS-B) for the two-dimensional flow problems considered in our work.

研究の動機と目的

• 従来のPINNがナビエ＝ストークス方程式やオイラー方程式に限定されるのに対し、連続的および希薄な流れ領域をカバーする多スケール流れのシミュレーションにおける課題に対処する。
• 頁岩ガス輸送やマイクロ流体工学などの希薄流体や複雑な幾何形状を有する流れにおいて、正確な境界条件を取得することが難しいという困難を克服する。
• 同じコードベースと定式化を用いて前方問題と逆問題の両方を解くことのできる統一されたPINNフレームワークを開発する。
• 境界条件に依存せずに、散在する内部速度測定値からのスパースなデータを用いて、速度場の正確な再構成を可能にする。
• 複雑な流れ配置におけるPINN-BGKの学習を高速化するための転移学習の実現可能性を示す。

提案手法

• 保存則を保持しつつ数値計算が可能な離散速度形式でボルツマン-BGK方程式を定式化する。
• 3つのサブネットワークアーキテクチャを設計：平衡分布関数を扱うネットワーク、非平衡成分を扱うネットワーク、およびPDEおよび境界・初期条件を統合するネットワーク。
• 自動微分を用いてボルツマン-BGK方程式の残差を計算し、損失関数に組み込む。
• 逆問題では、PDEの残差、境界・初期条件の不一致、および測定された速度のデータ適合性を組み合わせた複合損失を最小化する。
• 類似した前方問題からの事前学習済み重みを初期値として用いることで、転移学習を適用し、収束を加速する。
• Adam最適化器を用い、その後L-BFGS-Bによる微調整を行う。逆問題では、内部速度測定値が散在するデータを学習データとして使用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 物理知見に基づくニューラルネットワークは、連続的および希薄な流れ領域においてボルツマン-BGK方程式に従う前方および逆問題を解くために拡張可能か？
• RQ2 境界条件が不明であり、内部速度測定値がスパースかつ散在する状況下でも、PINNは多スケール流れにおける全速度場をどの程度正確に再構成できるか？
• RQ3 PDEの残差といった物理的制約を組み込むことで、逆問題における予測精度は、純粋な回帰手法と比較してどの程度向上するか？
• RQ4 転移学習は、複雑な流れ配置におけるPINN-BGKの学習時間を顕著に短縮できるか？
• RQ5 コアン・数が0.01から10の範囲で変動するマイクロスケール流れ（例：コアン・フローおよびキャビティ・フロー）において、PINN-BGKの速度プロファイルの精度はどの程度か？

主な発見

• PINN-BGKは、コアン・数が0.01から5の範囲で前方問題を正確に解くことができ、ターレー＝グリーン、キャビティ、マイクロコアン・フローといったベンチマーク流れを含む。
• コアン数が0.1から10の範囲で、マイクロコアンおよびキャビティ・フローの逆問題において、境界条件が不明な状況下でも、速度場を再構成し、u-速度成分の相対L2誤差が9%未満、v-速度成分の相対L2誤差が22%未満に抑えられた。
• 50個の均等に分布する内部測定値を用いた場合、Kn = 1.0におけるu-速度の相対L2誤差は8.51%であったが、100個の測定値に増加させると3.5%に低下し、データ密度の向上に伴う精度向上が確認された。
• 物理知見に基づく損失関数により、純粋な回帰手法と比較して予測誤差が顕著に低減された。例えば、Kn = 10の場合、u-速度の誤差は回帰手法で31.87%であったのを、PINN-BGKでは8.56%にまで低下させた。
• 転移学習により、コヴァシュニャ・フローのケースでは学習が標準的なAdam + L-BFGS-B最適化と比較して3倍速くなった。
• 本手法は、希薄流れにおける速度スリップや非平衡効果、マイクロキャビティ・フローにおける複雑な渦状構造でさえ、限られたデータでも正確に捉えることに成功した。