[論文レビュー] Physics-informed neural networks for solving Reynolds-averaged Navier$\unicode{x2013}$Stokes equations

Hamidreza Eivazi, Mojtaba Tahani+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2021

Model Reduction and Neural Networks被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、乱流モデルの仮定を一切用いずに、非圧縮性乱流に対する Reynolds 平均 Navier-Stokes (RANS) 方程式を解くための物理情報付きニューラルネットワーク (PINN) フレームワークを提案する。境界データを活用し、自動微分を用いて RANS 方程式を強制することで、平均速度では 3% 未塔の誤差、乱流応力成分では最大 28.18% の誤差を達成し、境界層、翼型、周期的ヒルを含む層流および乱流流れのケースにおいて優れた性能を示した。

ABSTRACT

Physics-informed neural networks (PINNs) are successful machine-learning methods for the solution and identification of partial differential equations (PDEs). We employ PINNs for solving the Reynolds-averaged Navier$\unicode{x2013}$Stokes (RANS) equations for incompressible turbulent flows without any specific model or assumption for turbulence, and by taking only the data on the domain boundaries. We first show the applicability of PINNs for solving the Navier$\unicode{x2013}$Stokes equations for laminar flows by solving the Falkner$\unicode{x2013}$Skan boundary layer. We then apply PINNs for the simulation of four turbulent-flow cases, i.e., zero-pressure-gradient boundary layer, adverse-pressure-gradient boundary layer, and turbulent flows over a NACA4412 airfoil and the periodic hill. Our results show the excellent applicability of PINNs for laminar flows with strong pressure gradients, where predictions with less than 1% error can be obtained. For turbulent flows, we also obtain very good accuracy on simulation results even for the Reynolds-stress components.

研究の動機と目的

• 明示的な乱流モデルや閉じ込めの仮定に依存せずに RANS 方程式を解くデータ駆動型フレームワークの構築を目的とする。
• PINN が境界データと支配方程式のみを制約として用いることで、非圧縮性乱流流れを正確にシミュレートできるかを調査することを目的とする。
• 流れ分離や再付着といった複雑な流れ特徴を示す代表的な乱流流れの設定において、本手法の性能を評価することを目的とする。
• 領域内に学習データが存在しない状況下で、平均流れの量および乱流応力成分の PINN 予測の正確さを評価することを目的とする。
• 乱流シミュレーションにおける Reynolds 平均から生じる不定定な系を解くことにおける PINN の実現可能性を示すこと

提案手法

• 全結合型ニューラルネットワーク (FNN) は空間座標 (x, y) を入力とし、平均流れ変数（流れ方向および壁面方向の速度 U, V、圧力 P、乱流応力成分 ⟨u²⟩, ⟨uv⟩, ⟨v²⟩）を予測する。
• 自動微分 (AD) を用いてネットワーク出力の空間微分を計算し、RANS 方程式の残差を構築する。この残差が教師なし損失として機能する。
• 教師あり学習損失は、速度、圧力、乱流応力成分の測定データを用いて領域境界でのみ計算される。
• 総損失関数は、境界での教師あり損失と、領域内および境界上に配置されたコロケーション点における RANS 方程式の教師なし残差損失を組み合わせたものである。
• レイノルズ数は支配方程式を通じて強制され、勾配ベース最適化を用いてエンド・ツー・エンドでモデルが学習される。
• 本フレームワークは 4 つのテストケースに適用された：Falkner–Skan 表面境界層（層流）、圧力勾配なし（ZPG）および逆圧力勾配（APG）の乱流境界層、NACA4412 翼型、周期的ヒル

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 PINN は、乱流モデルや閉じ込めの仮定を一切用いずに、非圧縮性乱流流れの RANS 方程式を正確に解くことができるか？
• RQ2 学習に境界データのみを用いる場合、PINN は平均流れおよび乱流応力成分をどれほど正確に予測できるか？
• RQ3 周期的ヒル上のような乱流流れにおいて、流れ分離や再付着といった複雑な流れ特徴を PINN はどの程度正確に捉えることができるか？
• RQ4 さまざまな流れ設定において、PINN 予測の正確さは高精度な DNS や LES データと比較してどうなるか？
• RQ5 境界データと RANS 方程式の残差強制の両者が、正確な解を得るために果たす相対的寄与度はどの程度か？

主な発見

• 強い圧力勾配を示す層流の Falkner–Skan 表面境界層において、PINN は 1% 未塔の誤差で予測を達成し、困難な層流ケースでも高い正確性を示した。
• 圧力勾配なし（ZPG）の乱流境界層では、予測変数すべての平均相対 ℓ₂-ノルム誤差が 3.91% であった。これは優れた予測能力を示している。
• 逆圧力勾配（APG）境界層では、平均相対 ℓ₂-ノルム誤差が 3.60% であり、流れ分離状態下でも頑健な性能を示した。
• NACA4412 翼型においては、流れ方向速度の PINN 予測誤差が 3% 未塔であり、流れ構造および圧力分布において良好な一致を示した。
• Re_b = 2,800 の周期的ヒルケースでは、PINN モデルが流れ分離領域および再付着点を正確に予測し、流れ方向速度の相対 ℓ₂-ノルム誤差が 2.77% であった。
• 最大誤差は ⟨u²⟩ 成分で 28.18% に観察されたが、これは乱流応力成分の正確な予測が依然として挑戦的であることを示唆しているが、多くの工学的応用においては許容可能な範囲内にとどまっている。