[論文レビュー] Physics-informed neural networks with hard constraints for inverse design

Lu Lu, Raphaël Pestourie+4 more|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2021

Topology Optimization in Engineering被引用数 48

ひとこと要約

本論文は hPINN を導入する。物理情報を組み込んだニューラルネットワークフレームワークで、ペナルティ法および拡張ラグランジュ法を用いて PDE 制約付きの逆問題設計に対して厳密な制約を課す。全光学ホログラフィと Stokes流に対して実証された。

ABSTRACT

Inverse design arises in a variety of areas in engineering such as acoustic, mechanics, thermal/electronic transport, electromagnetism, and optics. Topology optimization is a major form of inverse design, where we optimize a designed geometry to achieve targeted properties and the geometry is parameterized by a density function. This optimization is challenging, because it has a very high dimensionality and is usually constrained by partial differential equations (PDEs) and additional inequalities. Here, we propose a new deep learning method -- physics-informed neural networks with hard constraints (hPINNs) -- for solving topology optimization. hPINN leverages the recent development of PINNs for solving PDEs, and thus does not rely on any numerical PDE solver. However, all the constraints in PINNs are soft constraints, and hence we impose hard constraints by using the penalty method and the augmented Lagrangian method. We demonstrate the effectiveness of hPINN for a holography problem in optics and a fluid problem of Stokes flow. We achieve the same objective as conventional PDE-constrained optimization methods based on adjoint methods and numerical PDE solvers, but find that the design obtained from hPINN is often simpler and smoother for problems whose solution is not unique. Moreover, the implementation of inverse design with hPINN can be easier than that of conventional methods.

研究の動機と目的

• PDE制約付きの逆設計問題をモチベートし、トポロジー最適化として定式化する。
• 従来のPDEソルバに頼らず、inverse designを解くためにhPINNを開発する。
• PINN内に厳密な等式・不等式制約を課し、実現可能な設計を保証する。
• 従来の随伴法に基づくPDE制約付き最適化手法とhPINNの性能を比較する。

提案手法

• 解u(x)と設計パラメータgamma(x)を近似する2つのニューラルネットワークを導入する。
• 自動微分を用いてPDEと境界条件の残差をペナルティ化することでPDE情報付き損失を構築する。
• ネットワークアーキテクチャを変更してDirichlet境界条件と周期境界条件を厳密に課す（ハード制約）。
• PDEと不等式制約をハード制約として課すためのソフト制約、ペナルティ法、拡張ラグランジュ法を提示する。
• トレーニングのためのアルゴリズム手順（ペナルティ法はAlgorithm 1、拡張ラグランジュ法はAlgorithm 2）を提供する。
• 光学のホログラフィーとStokes流の問題でhPINNを実証し、従来の随伴法ベースのPDE制約付き最適化と比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 hPINNは逆設計問題においてPDE制約と厳密な不等式/境界条件を効果的に課せるか？
• RQ2 トポロジー最適化デザインにおけるhPINNの性能は、従来の随伴ベースPDEソルバーとどう比較されるか？
• RQ3 ハード制約形式は、非一意解の設定でより単純または滑らかな設計につながるか？
• RQ4 ペナルティ法と拡張ラグランジュ法の収束性と実践的なトレーニング上の考慮事項は何か？

主な発見

• hPINNは従来のPDE制約付き最適化法と同じ目的関数の性能を達成する。
• ハード制約の実装は、長さスケールや滑らかさの追加正則化なしで、しばしばより単純で滑らかな設計を生み出す。
• ペナルティ法と拡張ラグランジュ法は、PINNにおける制約の課すことによる悪条件化と収束の課題に対処する。
• アーキテクチャの修正によるハード制約は、Dirichlet境界条件と周期境界条件を正確に課すことができる。
• 前方のテストでは、PDE残差をほぼゼロに近づけることができ、トレーニングが進むにつれてL2相対誤差が改善する。