[論文レビュー] Physics-informed PointNet: A deep learning solver for steady-state incompressible flows and thermal fields on multiple sets of irregular geometries

Ali Kashefi, Tapan Mukerji|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2022

Model Reduction and Neural Networks被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、点群ベースのニューラルネットワークと物理情報に基づく損失関数を用いて、複数の不規則な幾何形状における定常状態の非圧縮流れおよび熱場を解く深層学習フレームワークであるPhysics-informed PointNet (PIPNet) を提案する。一度の学習実行後、PIPNetは、学習時に見られなかった幾何形状—学習カテゴリ内および外の両方—に対しても一般化可能であり、前方問題では相対的な点別誤差が7.5%未塔、逆問題では12%未塔を記録する。

ABSTRACT

We present a novel physics-informed deep learning framework for solving steady-state incompressible flow on multiple sets of irregular geometries by incorporating two main elements: using a point-cloud based neural network to capture geometric features of computational domains, and using the mean squared residuals of the governing partial differential equations, boundary conditions, and sparse observations as the loss function of the network to capture the physics. While the solution of the continuity and Navier-Stokes equations is a function of the geometry of the computational domain, current versions of physics-informed neural networks have no mechanism to express this functionally in their outputs, and thus are restricted to obtain the solutions only for one computational domain with each training procedure. Using the proposed framework, three new facilities become available. First, the governing equations are solvable on a set of computational domains containing irregular geometries with high variations with respect to each other but requiring training only once. Second, after training the introduced framework on the set, it is now able to predict the solutions on domains with unseen geometries from seen and unseen categories as well. The former and the latter both lead to savings in computational costs. Finally, all the advantages of the point-cloud based neural network for irregular geometries, already used for supervised learning, are transferred to the proposed physics-informed framework. The effectiveness of our framework is shown through the method of manufactured solutions and thermally-driven flow for forward and inverse problems.

研究の動機と目的

• 各新しい幾何形状に対して再訓練を要する既存の物理情報に基づくニューラルネットワーク（PINN）の制限を克服すること。
• 高い幾何的変動を示す複数の不規則な計算ドメインセットにわたる一般化を可能にすること。
• 物理情報に基づく深層学習の能力を、未学習の幾何形状における前方問題と逆問題の両方に対応できるように拡張すること。
• 不規則なドメインにおける幾何的特徴抽出に点群表現を活用すること。
• 前方および逆問題の両方のシナリオにおいて、多様で未学習の幾何形状に適用可能な一回の学習で計算コストを削減すること。

提案手法

• 不規則な計算ドメインの幾何的特徴を非構造化点群を用いて符号化するPointNetベースのニューラルネットワークを採用する。
• ナビエ–ストークス方程式および連続の式の平均二乗残差、境界条件、およびスパース観測を組み合わせた物理情報に基づく損失関数を定義する。
• 自動微分を用いて、深層学習フレームワーク内でのPDEの空間的および時間的勾配を計算する。
• 複数の不規則な幾何形状をカバーする1つのデータセットを用いてネットワークを学習させ、未学習の幾何形状への一般化を可能にする。
• 前方問題（既知のPDEおよび境界条件）と逆問題（スパース観測を伴う未知の境界条件）の両方のシナリオにフレームワークを適用する。
• 妥当性検証のために、マニフェイテッドソリューションの手法と熱対流駆動流れのベンチマークを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1つの不規則な幾何形状セットで学習した物理情報に基づく深層学習モデルは、未学習の幾何形状における前方流れ問題に一般化可能か？
• RQ2 未知の境界条件を伴う逆問題において、未学習の幾何形状に対する予測精度はどの程度向上するか？
• RQ3 トレーニングセットに存在しない複雑な特徴（例えば、複数のキャビティ、歪んだ境界）を有する幾何形状に対しても、モデルの性能はどのように現れるか？
• RQ4 トレーニング時に観測されていなかった幾何的カテゴリ（例えば、円形または六角形のインクルージョン）にextrapolateする際、モデルの精度はどの程度か？
• RQ5 再訓練なしに、多様で不規則なドメイン全体で低誤差を維持できるか？

主な発見

• PIPNetフレームワークは、複雑なキャビティ構造や歪んだ外周境界を有する3つの未学習の前方問題シナリオにおいて、相対的な点別誤差が7.5%未塔を達成した。
• 未知の温度境界条件を伴う自然対流駆動流れを含む逆問題において、27の未学習ドメイン全体で平均的な相対的点別誤差が12%未塔であった。
• 未学習の幾何的カテゴリ（例えば、円形および六角形のインクルージョン）に一般化した場合、最小相対誤差は約2%、最大は17%であった。
• トレーニングセットに存在しなかった新しい方向性や形状を有するドメインに対しても、速度場、圧力場、温度場をすべて正しく予測でき、優れた一般化能力を示した。
• 複雑な熱場および流れ場を含む複数のテストケースにおいて、フレームワークは高い精度を維持した。これにより、そのロバストネスとスケーラビリティが確認された。
• 1回の学習で複数の幾何形状に一般化可能な能力のおかげで、各新しいドメインに対してPINNを再訓練するのと比べて、大幅な計算コスト削減が達成された。