[論文レビュー] Picard groups in Poisson geometry

Henrique Bursztyn, Alan Weinstein|ArXiv.org|Apr 3, 2003

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用数 21

ひとこと要約

この論文は、シンプレクティック双対対を介して、可積分なポアソン多様体のモルティータ自己同値の群として定義されるピカード群を導入し、研究する。これは、代数における古典的ピカード群の概念を、シンプレクティック群体と双モジュラーを用いてポアソン幾何学へ一般化したものであり、葉の空間を用いたfoliationの葉の空間へのフレームワークの拡張を通じて、非可積分なポアソン多様体に対しても応用可能である。

ABSTRACT

We study isomorphism classes of symplectic dual pairs P P-, where P is an integrable Poisson manifold, S is symplectic, and the two maps are complete, surjective Poisson submersions with connected and simply-connected fibres. For fixed P, these Morita self-equivalences of P form a group Pic(P) under a natural ``tensor product'' operation. We discuss this group in several examples and study variants of this construction for rings (the origin of the notion of Picard group), Lie groupoids, and symplectic groupoids.

研究の動機と目的

• 可積分なポアソン多様体 P のピカード群を、シンプレクティック双対対を介したモルティータ自己同値の同型類として定義し、研究すること。
• シンプレクティック群体と双モジュラーを用いて、古典的な代数的ピカード群の概念をポアソン幾何学へ一般化すること。
• 既存の幾何的モルティータ理論における制限を克服し、foliationの葉の空間を用いて非可積分なポアソン多様体を含むフレームワークを提案すること。
• ピカード群のリー代数を研究し、ポアソン表現の圏に拡張を加えることの可能性を示唆すること。
• 多様体を超えて、より一般的な幾何的対象（例えば、葉の空間）を含むようにモルティータ同値を拡張することにより、可積分性および正則性の制約を除去すること。

提案手法

• ポアソン多様体 P のモルティータ自己同値を、S がシンプレクティックで、P ← S → P̄ という形のシンプレクティック双対対の同型類として定義する。ここで、写像は完全で、単連結かつ連結な纤维を持つ全単射なポアソン被覆写像である。
• テンソル積演算を用いて、このような自己同値の集合に群構造を導入し、ピカード群 Pic(P) を形成する。
• 特に非可積分な場合に対しても、シンプレクティック群体とワインバーグ群体構成法（Γ(A)）を用いて、ポアソン多様体の基本群体をモデル化する。
• シンプレクティック双モジュラーを多様体としてだけでなく、横断的にシンプレクティックなfoliationの葉の空間としても扱うことを提案し、より広いクラスの幾何的対象を可能にする。
• 微分可能スタックとエタール群体のモルティータ同値類の言語を用いて、葉の空間間の準同型を形式化する。
• 特にポアソン多様体 P の T*P に対して、Lie代数ダルブロイド A に対して、クレイン＝フェルナンデスのワインバーグ群体 Γ(A) の構成を用いて、一般化された基本群体を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数における古典的ピカード群の概念を、どのようにポアソン幾何学へ一般化できるか？
• RQ2 可積分なポアソン多様体のモルティータ自己同値の群の構造は何か？ そして、シンプレクティック双対対を用いてどのように構成されるか？
• RQ3 多様体をfoliationの葉の空間に置き換えることで、非可積分なポアソン多様体に対してもモルティータ同値を拡張できるか？
• RQ4 ワインバーグ群体とポアソン多様体の基本群体は、幾何的モルティータ理論を拡張するために果たす役割は何か？
• RQ5 ポアソン多様体の表現の圏をどのように拡張すれば、表現同値がモルティータ同値を意味するようになるか？

主な発見

• 可積分なポアソン多様体 P のピカード群 Pic(P) は、テンソル積演算によるモルティータ自己同値の群として定義され、代数的ピカード群を一般化する。
• 可積分なポアソン多様体では、任意のモルティータ同値の全空間は滑らかな多様体でなければならないため、標準的なモルティータ同値が回復される。
• Lie代数ダルブロイド A に対してワインバーグ群体 Γ(A) を構成することで、非可積分なポアソン多様体 P に対しても、自然な基本群体が得られる。
• 横断的にシンプレクティックなfoliationの葉の空間は、一般化されたシンプレクティック双モジュラーとして機能し、滑らかな多様体を超えるモルティータ同値のフレームワークを可能にする。
• 微分可能スタックとエタール群体のモルティータ同値類の言語を用いることで、葉の空間間の準同型を自然に形式化できる。
• ピカード群のリー代数は、群体の無限小的構造を用いて研究可能であり、ポアソンコホホロジーおよび表現論との関連を示唆する。