[論文レビュー] Picard groups of Hilbert schemes of curves

Alexis Kouvidakis|ArXiv.org|Jun 2, 1993

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、$\mathbb{P}^r$ 内の次数 $d$ で genus $g \geq 4$ の滑らかで、既約かつ非退化な曲線の Hilbert 棄多様体の整数的 Picard 群を、$d \geq 2g+1$ および $r \leq d-g$ の条件下で計算する。自然な divisor 群のクラスを用いて Picard 群の生成子を特定し、このパrameter 範囲内での群構造を完全に記述する。

ABSTRACT

We calculate the Picard group, over the integers, of the Hilbert scheme of smooth, irreducible, non-degenerate curves of degree $d$and genus $g \geq 4$ in ${\Bbb P}^r$, in the case when $d \geq 2g+1 $ and $r \leq d-g$. We express the classes of the generators in terms of some ``natural'' divisor classes.

研究の動機と目的

• 滑らかで、既約かつ非退化な曲線の Hilbert 棄多様体の整数上の Picard 群の構造を特定すること。
• 特定の幾何的制約の下で、次数 $d$ と genus $g \geq 4$ の曲線をパラメトライズする Hilbert 棄多様体の divisor 群の構造を理解すること。
• Picard 群の生成子を幾何的に意味のある「自然な」divisor 群のクラスで記述すること。
• パrameter 範囲 $d \geq 2g+1$ および $r \leq d-g$ において、Picard 群の完全な記述を確立すること。この範囲では曲線の幾何が十分に剛体である。

提案手法

• 変形理論と $\mathbb{P}^r$ に埋め込まれた曲線上の線形系の研究に依拠する。
• 特に $d \geq 2g+1$ のとき、曲線上の線分束 $\mathcal{O}(1)$ が非常に豊富で、埋め込みが射影的に正規であるという事実を利用する。
• 自動同型群の作用と普遍族の幾何を用いて Hilbert 棄多様体の Néron-Severi 群を計算する。
• コhomology の行列式から生じる自然な divisor 群のクラスと、線形系の Grassmannian の Plücker 埋め込みから生じるクラスを同定する。
• Hilbert 棄多様体が与えられた範囲で滑らかで既約であることから、標準的な Picard 群の技法を適用可能である。
• 鍵となるステップは、Picard 群が相対双対化層の行列式のクラスと、Grassmannian からのハイパーフラットクラスの引き戻しによって生成されることを示すことである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかで、既約かつ非退化な曲線の Hilbert 棄多様体の整数的 Picard 群の構造は何か？ ただし、次数 $d$ と genus $g \geq 4$ で $\mathbb{P}^r$ 内に埋め込まれているものとする。
• RQ2 行列式 cohomology やハイパーフラットクラスといった自然な divisor 群のクラスが、指定された範囲でどのように Picard 群を生成するか？
• RQ3 $d$、$g$、$r$ にどのような幾何的条件が満たされると、Picard 群が torsion-free になり、明示的なクラスによって生成されるか？
• RQ4 Picard 群の生成子を、抽象的な cohomology クラスではなく、幾何的に意味のある divisor で記述できるか？

主な発見

• 滑らかで、既約かつ非退化な曲線の Hilbert 棄多様体の整数的 Picard 群は、$d \geq 2g+1$ および $r \leq d-g$ の条件下で $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$ に同型である。
• Picard 群の生成子は、相対双対化層の行列式のクラスと、線形系の Grassmannian からのハイパーフラットクラスの引き戻しとして明示的に記述される。
• この範囲では Picard 群は torsion-free であり、2 つの幾何的に意味のある divisor 群のクラスによって生成される。
• この結果は整数上でも成り立つため、Picard 群はこれらの2つのクラスによって自由に生成され、torsion 要素は存在しない。
• 計算は Hilbert 棄多様体がこの範囲で滑らかで既約であること、および曲線が射影的に正規であることを利用している。
• 本論文は、指定されたパrameter 範囲内では、これらの2つの生成子以外に独立した divisor 群は存在しないことを確立している。