[論文レビュー] Picard numbers of complex Delsarte surfaces with only isolated ADE-singularities

Bas Heijne|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2012

Polynomial and algebraic computation参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$ n \geq 6 $ におけるすべての複素 Delsarte 表面で、孤立した ADE 特異点のみをもつものについて、同型を除いて分類し、その数がたかだか 83 通りであることを証明する。各族に対して、Delsarte と Shioda のアルゴリズムを用いて Lefschetz 数を介して導かれる閉形式のピカール数の公式を提示し、指数行列とその逆行列に基づく明示的計算を実施。さらに、$ n \geq 5 $ において3つの最大の表面が存在することを確認する。

ABSTRACT

We give a classification of all Delsarte surfaces with only ADE singularities. Using this we give closed formulas for the Picard numbers of such surfaces.

研究の動機と目的

• $ n \geq 6 $ である複素 Delsarte 表面で、孤立した ADE 特異点のみをもつものについて、同型を除いてすべて分類すること。
• Delsarte のアルゴリズムに由来する Lefschetz 数の公式を用いて、各表面のピカール数を計算すること。
• ピカール数がホッジ理論的上界に等しくなる、最大の Delsarte 表面を特定し、特徴づけること。
• 各族に対して、度数 $ n $ のみに依存する閉形式のピカール数の公式を明示的に提示すること。
• 非特異な Delsarte 表面に関する先行研究を、特に高次度における特異な ADE の場合に拡張すること。

提案手法

• 表面の定義多項式の単項式から、指数行列 $ A $ を構成する。
• 逆行列 $ A^{-1 $ を用いて、行ベクトル $ e_1, e_2, e_3 $ との積により、3つのベクトル $ \tilde{v}, \tilde{w}, \tilde{u} $ を計算する。
• これらのベクトルは、有限な $ \mathbb{Z} $-加群 $ L \subseteq (\mathbb{Q}/\mathbb{Z})^4 $ を生成する。$ L_0 $ および $ L_1 $ は、それぞれ少なくとも1つの座標が0である要素、すべての座標が0である要素の集合として定義される。
• 集合 $ \Lambda \subseteq L_1 $ は、$ L_1 $ の要素のスカラー倍の位数および分数部分に関する条件によって定義され、その濃度が Lefschetz 数 $ \lambda = \#\Lambda $ を与える。
• ピカール数は $ \rho = b_2 - \lambda $ として計算され、ここで $ b_2 = n^3 - 4n^2 + 6n - 2 $ は、ADE 特異点をもつ度数 $ n $ の表面に対して成り立つ。
• 分類は、$ L_1 \setminus \Lambda $ の構造の分析に依拠し、これは可約、正則に非可約、および例外的（不規則に非可約）な要素に分割される。後者は有限であり、明示的に知られている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 度数 $ n \geq 6 $ で、孤立した ADE 特異点のみをもつ Delsarte 表面は、同型を除いて何通り存在するか？
• RQ2 各表面のピカール数の閉形式の公式は、度数 $ n $ のみに依存してどのように表されるか？
• RQ3 どの Delsarte 表面が最大であるか、すなわちホッジ数の上界 $ \rho \leq h^{1,1} $ において等号が成立するか？
• RQ4 ADE 特異点をもつさまざまな Delsarte 表面族において、Lefschetz 数とピカール数はどのように振る舞うか？
• RQ5 指数行列とその逆行列は、$ \Lambda $-集合の構成を通じてピカール数を計算する際に果たす役割は何か？

主な発見

• 度数 $ n \geq 6 $ で、孤立した ADE 特異点のみをもつ Delsarte 表面は、同型を除いてたかだか 83 通り存在する。
• この 83 族の各々に対して、度数 $ n $ のみに依存する閉形式のピカール数の公式が提示され、付録 A に詳細が記載されている。
• 度数 $ n \geq 5 $ の3つの最大の Delsarte 表面は、次の通りである：$ X^3YZ + Y^3ZU + XZ^3U + XYU^3 = 0 $、$ X^5Y + XY^5 + Z^5U + ZU^5 = 0 $、および $ X^6 + Y^6 + Z^6 + U^6 = 0 $。
• ピカール数は $ \rho = b_2 - \lambda $ として計算され、ここで $ b_2 = n^3 - 4n^2 + 6n - 2 $、$ \lambda = \#\Lambda $ であり、$ \Lambda $ は指数行列とその逆行列から導かれる。
• $ L_1 \setminus \Lambda $ は、可約、正則に非可約、および例外的（不規則に非可約）な要素に分割され、後者は有限であり、濃度が 22080 として明示的に知られている。
• 各場合におけるピカール数の公式には、度数 $ n $ に応じた特別な場合を補正するためのクロネッカーのデルタ関数 $ \delta_{a,b} $ による補正項が含まれる。