[論文レビュー] Picking Planar Edges; or, Drawing a Graph with a Planar Subgraph

Marcus Schaefer|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2013

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、GF(2) 上のハナニ＝トゥッテ的アプローチを用いて、指定されたエッジ部分集合が交差自由となるようにグラフを描けるかどうかを判定する多項式時間アルゴリズムを提案する。部分的平面性問題は多項式時間で解けることが示され、一方で、各エッジが部分集合内で高々1回交差する必要がある直線描画を要件とする幾何的バージョンは、実存理論の複雑さと同程度に難しい。

ABSTRACT

Given a graph $G$ and a subset $F \subseteq E(G)$ of its edges, is there a drawing of $G$ in which all edges of $F$ are free of crossings? We show that this question can be solved in polynomial time using a Hanani-Tutte style approach. If we require the drawing of $G$ to be straight-line, and allow at most one crossing along each edge in $F$, the problem turns out to be as hard as the existential theory of the real numbers.

研究の動機と目的

• 指定されたエッジ部分集合が交差自由となるようにグラフを描く問題の計算量的複雑度を特定すること。
• 部分的平面性問題—つまり、エッジの部分集合のみが平面的でなければならない—が効率的に解けるかどうかを調査すること。
• グラフ描画における平面性制約の扱いやすさと扱いにくさの境界を明らかにすること。
• 部分的平面性問題の多角線バージョンと直線バージョンの複雑度を比較すること。
• 部分埋め込み平面性や固定エッジ付き同時埋め込みといった関連問題との関係を検討すること。

提案手法

• エッジの交差の偶奇を (e,v)-移動でモデル化し、GF(2) 上の線形方程式系として問題を定式化する。
• 独立なエッジ間で偶数の交差数を保証するシステム P(D,F) を定義し、そのうちの1つのエッジが指定された部分集合 F に属するようにする。
• ハナニ＝トゥッテの特徴づけを用いる：グラフが F に属するすべてのエッジが交差しないように描けるための必要十分条件は、P(D,F) が GF(2) 上で解けることである。
• 有限体上の線形方程式系の可解性が多項式時間でテスト可能であるという事実を活用する。
• 位相的および組合せ論的議論を用いて、可解性が有効な描画の存在を示すことの妥当性を裏付ける。
• 擬線形配置と可伸縮性の議論を用いて、幾何的バージョンの複雑度を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 指定されたエッジ部分集合が交差しないようにグラフを描ける部分的平面性問題は、多項式時間で解けるか？
• RQ2 直線描画を要件とする部分的平面性問題の幾何的バージョンは、多角線バージョンよりも計算的に難しいか？
• RQ3 部分集合に属する各エッジが高々1回交差することを許容する幾何的部分的平面性問題の計算量的複雑度は何か？
• RQ4 ハナニ＝トゥッテのアプローチは、幾何的制約を伴う1平面グラフへと拡張可能か？
• RQ5 PQ-木やSPQR-木といった従来のデータ構造は、部分的平面性問題を効率的に解くために利用可能か？

主な発見

• 指定されたエッジ部分集合が交差しないようにグラフを描ける部分的平面性問題は、GF(2) 上のハナニ＝トゥッテ的線形系を用いることで多項式時間で解ける。
• P(D,F) の GF(2) 上での可解性は、F に属するすべてのエッジが交差しない描画が存在するための必要十分条件である。
• 直線描画を要件とし、部分集合内の各エッジが高々1回交差するという幾何的バージョンの問題は、実存理論（∃R）と同程度に難しい。
• 幾何的1平面性はNP完全であるが、一般の幾何的部分的平面性問題は、面積の下界と構造的複雑度に基づき、おそらく ∃R-hard である。
• 本問題は、固定エッジ付き同時埋め込み問題の特殊ケース（スワンフラワーの場合）と同等であるため、そのフレームワークとのアルゴリズム的関係が示唆される。
• 幾何的部分的平面性が ∃R-hard であるかどうかは未解決のままだが、強力な証拠がその複雑度を示唆している。