[論文レビュー] Pictures of Processes: Automated Graph Rewriting for Monoidal Categories and Applications to Quantum Computing

Aleks Kissinger|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2012

Scientific Computing and Data Management参考文献 57被引用数 44

ひとこと要約

この論文は、モノイダル圏におけるストリングダイアグラムの離散的かつ計算的に取り扱いやすい形式的枠組みとしてストリンググラフを導入し、自動化された二重押し出し（double-pushout）グラフ書き換えを可能にする。これは、自由な対称トレース付きおよびコンパクト閉じた圏を構築する基盤を確立し、量子コンピューティングへの応用として、強く補完的である観測可能を分類し、!-ボックスと帰納的推論を用いた多粒子もつれのグラフィカル理論を構築する。

ABSTRACT

This work is about diagrammatic languages, how they can be represented, and what they in turn can be used to represent. More specifically, it focuses on representations and applications of string diagrams. String diagrams are used to represent a collection of processes, depicted as "boxes" with multiple (typed) inputs and outputs, depicted as "wires". If we allow plugging input and output wires together, we can intuitively represent complex compositions of processes, formalised as morphisms in a monoidal category. [...] The first major contribution of this dissertation is the introduction of a discretised version of a string diagram called a string graph. String graphs form a partial adhesive category, so they can be manipulated using double-pushout graph rewriting. Furthermore, we show how string graphs modulo a rewrite system can be used to construct free symmetric traced and compact closed categories on a monoidal signature. The second contribution is in the application of graphical languages to quantum information theory. We use a mixture of diagrammatic and algebraic techniques to prove a new classification result for strongly complementary observables. [...] We also introduce a graphical language for multipartite entanglement and illustrate a simple graphical axiom that distinguishes the two maximally-entangled tripartite qubit states: GHZ and W. [...] The third contribution is a description of two software tools developed in part by the author to implement much of the theoretical content described here. The first tool is Quantomatic, a desktop application for building string graphs and graphical theories, as well as performing automated graph rewriting visually. The second is QuantoCoSy, which performs fully automated, model-driven theory creation using a procedure called conjecture synthesis.

研究の動機と目的

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• 自動化された書き換えを可能にしつつ、直感的なグラフィカル構造を保つストリングダイアグラムの離散的かつ計算的に取り扱いやすい形式的枠組みの開発。
• この形式的枠組みを、とりわけもつれと補完的観測可能の分類に焦点を当てた量子情報理論に応用する。
• パターングラフと!-ボックスを用いた自動的仮説生成およびKnuth-Bendix完成法により、グラフィカル恒等式の自動発見を可能にする。
• 自然数式に束縛された!-ボックスを用いた構造化されたルール適用と推論規則により、グラフィカル言語における帰納的証明への一般化を実現する。

提案手法

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• 二重押し出しグラフ書き換えをサポートする部分的アドヒビィティカテゴリとしてストリンググラフを導入する。
• プロセスの合成と書き換えをモデル化するため、ストリンググラフ上のコスパンを定義する。
• 書き換えカテゴリを用いて、モノイダル署名から自由な対称トレース付きおよびコンパクト閉じた圏を構築する。
• !-ボックスを用いて無限個のグラフ族を表現し、それらに対する帰納的推論を可能にする。
• 仮説生成およびKnuth-Bendix完成法をストリンググラフの文脈に適応し、自動的な規則生成を実現する。
• 正規表現よりも洗練された言語を記述できる、グラフ文法を用いたメタ書き換えシステムを導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 .
• RQ2 ストリングダイアグラムを、直感的なグラフィカル構造を保ちつつ、自動化された書き換えを可能にする方法で形式化するにはどうすればよいか？
• RQ3 モノイダル署名からストリンググラフを用いて自由な対称トレース付きおよびコンパクト閉じた圏を構築するための圏論的基盤は何か？
• RQ4 グラフィカル言語を用いて、量子力学における多粒子もつれおよび強く補完的である観測可能をどのように分類できるか？
• RQ5 パターングラフと!-ボックスを用いた自動的仮説生成を、グラフィカル理論へと拡張できるか？
• RQ6 構造化されたルール適用と推論規則を通じて、!-ボックスにおける帰納的推論を形式化できるか？

主な発見

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• ストリンググラフは部分的アドヒビィティカテゴリを形成し、グラフィカル言語における厳密な二重押し出し書き換えを可能にする。
• この枠組みは、コスパンと書き換えシステムを介して、モノイダル署名から自由な対称トレース付きおよびコンパクト閉じた圏を構築するのを支援する。
• 次元Dにおける強く補完的である観測可能な最大集合のサイズは2以下であり、Dの位数を持つアーベル群と1対1に対応する。
• !-ボックスの使用により、無限個のグラフィカル恒等式のコンパクトな表現が可能になり、それらに対する帰納的推論が可能になる。
• 仮説生成およびKnuth-Bendix完成法を用いたパターングラフ書き換えにより、より強力で一般性の高い書き換え規則が生成され、探索空間が縮小され、自動化が向上する。
• !-ボックスにおける帰納のための新しい推論規則を導入し、方程式的完成法のみでは発見できない新しい恒等式の導出を可能にする。