[論文レビュー] Piecewise contractions defined by iterated function systems

Arnaldo Nogueira, Benito Pires+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、[0,1] 内の分割点の Lebesgue ほぼ everywhere な選択に対して、Lipschitz 収縮写像からなる反復関数系 (IFS) によって定義される n 間隔の区分的収縮写像が、漸近的に周期的であることを確立している。つまり、すべての軌道が周期軌道に収束する。主な結果は、このような写像が 1 つから n 個の周期軌道を持つことであり、力学系の性質は IFS の収縮性質とネストされた集合 A_k の構造に基づいて完全に特徴付けられる。

ABSTRACT

Let $ϕ_1,\ldots,ϕ_n:[0,1] o (0,1)$ be Lipschitz contractions. Let $I=[0,1)$, $x_0=0$ and $x_n=1$. We prove that for Lebesgue almost every $(x_1,...,x_{n-1})$ satisfying $0

研究の動機と目的

• 反復関数系 (IFS) によって定義される区分的収縮写像 (PC) の位相的力学系を、一般に完全に特徴づけること。非単射写像を含む。
• 従来の結果（非重複範囲を持つ単射 IFS に限られていた）を拡張し、単射および非単射収縮写像に適用可能な枠組みを構築すること。
• Lebesgue 測度でほぼすべての [0,1] の分割に対して、対応する PC 写像が漸近的に周期的であることを証明すること。すなわち、すべての軌道が周期軌道に収束すること。
• 周期軌道の数にタイトな上限を与えること。このタイプの典型的な写像では、周期軌道は最大で n 個である。

提案手法

• n 個の Lipschitz 収縮写像 φ_i と、点 x_1 < ... < x_{n-1} によって定義される [0,1) の n 間隔への分割を用いて、写像 f を区分的収縮として定義する。
• A_0 = [0,1] および k ≥ 1 に対して A_k = ∪_{i=1}^n φ_i(A_{k-1}) と定義されるネストされた集合列 A_k を導入し、漸近的挙動を分析する。
• IFS が強く収縮する（または κ-Lipschitz で κ < 1/2）ならば、∩_{k≥0} A_k が零集合であることを証明し、これにより漸近的周期性が導かれる。
• 区間の準分割に関する組合せ的議論を用い、定義された関係による同値類に基づき、周期軌道の数を n で上から抑える。
• 測度論的議論を用いて、力学系が漸近的に周期的でないパrameter 設定 (x_1,…,x_{n-1}) の集合が Lebesgue 測度で零であることを示す。
• 反例（φ_1, φ_2 がアフィン写像で κ > 1/2）を構成し、∩A_k が正の測度を持つ可能性があることを示し、収縮条件の必要性を裏付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 IFS {φ_1,…,φ_n} がどのような条件下で、[0,1] のほぼすべての分割に対して関連する区分的収縮写像が漸近的に周期的になるか。
• RQ2 典型的な n 間隔区分的収縮写像が有する周期軌道の最大数は何か？この上限はタイトか？
• RQ3 ネストされた集合 A_k = ∪φ_i(A_{k-1}) の構造は、写像 f の長期的力学系にどのように関係するか。
• RQ4 単射 IFS に対する結果を、範囲が重複する非単射写像に拡張できるか？もしそうなら、どのような条件下で可能か。
• RQ5 IFS が強く収縮しない場合、∩A_k は still 零集合であるか、それとも正の測度を持つ可能性があるか？

主な発見

• Lebesgue 測度でほぼすべての (x_1,…,x_{n-1}) ∈ Ω_{n-1} に対して、IFS によって定義される区分的収縮写像 f は漸近的に周期的であり、任意の x ∈ [0,1) に対して ω_f(x) は周期軌道である。
• このような典型的な f の周期軌道の数は、少なくとも1つで、最大で n 個であり、上界はタイトである。
• IFS が κ < 1/2 の κ-Lipschitz 収縮からなるならば、漸近的周期性が保証される。これは「強く収縮する」条件よりも弱い。
• κ < 1/2 条件の下で、典型的な IFS に対して ∩_{k≥0} A_k は零集合であり、これにより力学系が最終的に入り込む周期的状態が保証される。
• 反例として、∩A_k = [1/8, 1/2] となる非退化な区間が得られ、κ ≥ 1/2 のときには零集合条件が成立しないことが示された。
• 周期軌道の数は、区間上の定義された関係による同値類の数で抑えられ、その数は最大で n である。これにより上界が証明される。