[論文レビュー] Piecewise deterministic Markov process — recent results

Romain Azaïs, Jean-Baptiste Bardet+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Gene Regulatory Network Analysis参考文献 53被引用数 58

ひとこと要約

本稿は、最近のPiecewise Deterministic Markov Processes (PDMPs) における進展をレビューし、長期間の挙動、ジャンプ間時間分布の統計的推定、および数値シミュレーション手法に焦点を当てる。本稿では、ジャンプ後の位置とジャンプ間時間の埋め込まれたマルコフ連鎖を用いて、ジャンプ間時間の条件付き密度の非パrametric推定量を提案し、正則性条件下で一貫性を確立する。

ABSTRACT

We give a short overview of recent results on a specific class of Markov process: the Piecewise Deterministic Markov Processes (PDMPs). We first recall the definition of these processes and give some general results. On more specific cases such as the TCP model or a model of switched vector fields, better results can be proved, especially as regards long time behaviour. We continue our review with an infinite dimensional example of neuronal activity. From the statistical point of view, these models provide specific challenges: we illustrate this point with the example of the estimation of the distribution of the inter-jumping times. We conclude with a short overview on numerical methods used for simulating PDMPs.

研究の動機と目的

• PDMPsにおける最近の理論的・応用的発展を包括的に概説すること。
• 一般状態空間におけるPDMPsにおけるジャンプ間時間の条件付き分布を推定する統計的課題に取り組むこと。
• 観測された埋め込まれたマルコフ連鎖を用いて、ジャンプレートおよび生存関数の非パrametric推定法を開発すること。
• 正則性仮定の下で、提案された非パrametric推定量の理論的一貫性を確立すること。
• PDMPsのシミュレーションおよび関連する最適制御問題の解法に適した数値手法を調査すること。

提案手法

• ジャンプ後の位置 x と y、および時間 t を与えたときのジャンプレート関数 eλ(x, y, t) に対する非パrametricカーネル推定量を提案する。
• 状態空間の分割 (Bk) を導入し、観測頻度を用いて条件付き生存確率 H(A, Bk, t) を経験的に推定する。
• 生存分析におけるAalenの乗法的強度モデルに類似した連続時間マルティンゲール構造を用いて、推定量の一貫性を正当化する。
• 最終的な推定量を重み付き和 ∑k bln(A, Bk, t) · H̃n(A, Bk, t) として構築する。ここで bln はレートを推定し、H̃n は生存確率を推定する。
• ジャンプ時および追加のポアソン分布でサンプリングされた時刻に観測することで得られる離散時間マルコフ連鎖 {θn} を用い、再帰性および再帰的性質を保証する。
• PDMPの再帰性と埋め込まれた連鎖 {θn} の再帰性との等価性に依拠し、Foster-Lyapunov基準を用いて再帰性を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 PDMPにおけるジャンプ間時間の条件付き密度を非パrametricな設定で一貫して推定する方法は何か？
• RQ2 一般状態空間におけるPDMPsにおける不変測度の存在およびエルゴード性の十分条件は何か？
• RQ3 数値的手法は、PDMPsのシミュレーションおよび期待値や停止時刻の計算にどのように適合させられるか？
• RQ4 埋め込まれたマルコフ連鎖 {Θn} は、PDMPsの長期間挙動を特徴付ける上で果たす役割は何か？
• RQ5 弱い正則性仮定の下でも一貫性を持つジャンプレートの非パrametric推定量を構築できるか？

主な発見

• 提案されたジャンプ間時間の条件付き密度に対する非パrametric推定量は一貫性を持つ：任意の ε, η > 0 に対して、N, A および分割 (Bk) が存在し、n ≥ N のすべての n に対して、スアップノルム誤差が η を超える確率が ε より小さい。
• 推定量は X の任意のコンパクト部分集合 K において一様収束を達成し、状態空間の有界領域における安定な近似を保証する。
• ジャンプレート eλ に対するカーネル推定量の一貫性は、生存分析における乗法的強度モデルに類似した連続時間マルティンゲール構造に依拠している。
• 生存確率 Pν[Sn+1 > t, Zn+1 ∈ Bk | Zn ∈ A] の経験的推定は一貫しており、最終推定量の主要な構成要素を占める。
• PDMPの再帰性と埋め込まれた連鎖 {θn} の再帰性との等価性により、標準的なマルコフ連鎖のツールを用いて長期挙動を推論できる。
• 埋め込まれた連鎖 {Θn} の量子化またはカーネル離散化に基づく数値的手法は、PDMPsの最適停止問題およびインパulse制御問題の解法に有効である。