[論文レビュー] Piecewise Divergence-Free $H( extrm{div})$-Nonconforming Virtual Elements for Stokes Problem in Any Dimensions

Huayi Wei, Xuehai Huang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2020

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 24被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、任意の次元におけるストークス問題に対して、$H(\textrm{div})$-適合なフレームワークを用いて、発散なしで非適合な仮想要素法を提案する。局所エネルギー射影子を導入し、発散作用素と可換にすることで、核上での安定化ノルムの同値性を保証することで、厳密な誤差解析を伴う最適収束率を達成する。離散インフラス条件の安定性も保証される。

ABSTRACT

Piecewise divergence-free $H( extrm{div})$-nonconforming virtual elements are designed for Stokes problem in any dimensions. After introducing a local energy projector based on the Stokes problem and the stabilization, a divergence-free nonconforming virtual element method is proposed for Stokes problem. A detailed and rigorous error analysis is presented for the discrete method, including the norm equivalence of the stabilization on the kernel of the local energy projector, the interpolation error estimate, the discrete inf-sup condition, and the optimal error estimate of the discrete method. An important property in the analysis is that the local energy projector commutes with the divergence operator. A reduced virtual element method is also discussed. Numerical results are provided to verify the theoretical convergence.

研究の動機と目的

• 分離発散なしの速度近似を強制する、安定で非適合な仮想要素法を、ストークス問題に対して開発すること。
• 発散作用素と可換である局所エネルギー射影子を構築し、核の近似を正確に行えるようにすること。
• 局所エネルギー射影子の核上での安定化項のノルム同値性を証明し、法の安定性を保証すること。
• 補間と離散インフラス条件を用いて、速度と圧力の最適誤差推定を導出すること。
• 計算効率の向上を図るため、フレームワークを縮小した仮想要素定式化に拡張すること。

提案手法

• ストークス問題に基づいて、仮想要素関数を発散なし部分空間に射影する局所エネルギー射影子を構築する。
• 局所エネルギー射影子の核上でのエネルギーノルムと等価なノルムを持つように、安定化項を設計することで、安定性を保証する。
• $H(\textrm{div})$-適合な自由度を備えた非適合仮想要素空間を用い、弱い発散なし条件を満たす。
• 発散作用素と可換である射影子の性質を活用して、離散インフラス条件を証明する。
• 基底関数の明示的知識が不要な、一貫性のある安定化項を離散定式化に組み込む。
• 特定の自由度を削除することで、システムを簡略化する縮小仮想要素変種を導入し、収束性を維持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の次元において、正確に発散なしの速度近似を達成する非適合仮想要素法を構築可能か？
• RQ2 局所エネルギー射影子は発散作用素と可換か？この性質は法の安定性および収束性にどのように影響するか？
• RQ3 局所エネルギー射影子の核上での安定化項は、エネルギーノルムとノルム同値か？
• RQ4 離散法における速度および圧力近似の最適収束率は何か？
• RQ5 計算コストを低減しつつ最適収束率を維持できる縮小仮想要素定式化を導出可能か？

主な発見

• 局所エネルギー射影子は発散作用素と可換であり、これは発散なし仮想要素の構築に不可欠な性質である。
• 安定化項が局所エネルギー射影子の核上でのエネルギーノルムとノルム同値であることが示され、最適な安定性が保証される。
• 速度および圧力近似に対して、$h^k$次の最適誤差推定が確立された。ここで $k$ は仮想要素空間の多項式次数を表す。
• 離散インフラス条件が成立することが証明され、離散問題の適切に定義されていることが保証される。
• 縮小仮想要素法は最適収束率を維持しながら、自由度の数を削減する。
• 数値結果により、標準的および縮小型の定式化における理論的収束率が確認された。