[論文レビュー] Pieri rules for classical groups and equinumeration between generalized oscillating tableaux and semistandard tableaux

Soichi Okada|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、古典的群の表現論を用いて、一般化された振動テーブルックスと半標準テーブルックスの間の等数的関係を確立する。特に、シミプレクティック群および直交群の新しいピエリ規則を用いる。振動テーブルックスの形状と長さ制約が与えられたとき、それに対応する重みと形状条件を満たす半標準テーブルックスの数に等しくなることを証明し、バーリルの予想の精密化版に対する表現論的基盤を提供する。

ABSTRACT

We present several equinumerous results between generalized oscillating tableaux and semistandard tableaux and give a representation-theoretical proof to them. As one of the key ingredients of the proof, we provide Pieri rules for the symplectic and orthogonal groups.

研究の動機と目的

• 振動テーブルックスと標準テーブルックスに関するバーリルの予想の精密化版を一般化し、表現論的証明を与える。
• 長さ、形状、および列／行の内容に関する制約の下で、一般化された振動テーブルックスと半標準テーブルックスの間の等数的対応関係を確立する。
• 等数的証明の基盤として、シミプレクティック群および直交群の新しいピエリ規則を導出する。
• 対称べきおよび外積べきの表現のテンソル積における組合せ的テーブルックスの数え上げと表現論的重複度を統一する。
• 特性の制限公式とLR係数を用いて、従来の双対的結果を重み付きおよび符号付きテーブルックスの設定に拡張する。

提案手法

• 定義表現 $V = \mathbb{C}^{2n}$ の対称べきおよび外積べきとのテンソル積の分解を記述するため、シミプレクティック群 $\mathbf{Sp}_{2n}$ および直交群 $\mathbf{O}_N$ のピエリ規則を導出する。
• ピエリ規則を繰り返し適用することで、$S^\alpha(V)$ および $\bigwedge^\alpha(V)$ における $\mathbf{Sp}_{2n}$-既約表現 $V_{\langle(m)\rangle}$ の重複度を計算する。
• 古典的ピエリ規則を $\mathbf{GL}_{2n}$ に適用し、$S^\alpha(V)$ および $\bigwedge^\alpha(V)$ を $l(\lambda) \leq 2n$ を満たす分割 $\lambda$ でインデックスづけられた $\mathbf{GL}_{2n}$-既約表現に分解する。
• $S^\alpha(V)$ における $V_{\langle(m)\rangle}$ の重複度を、重み $\alpha$ で形状 $\lambda$ かつ $c(\lambda) = m$ を満たす列厳密テーブルックスの数に関連付ける。
• $\mathbf{GL}_{2n}$ から $\mathbf{Sp}_{2n}$ および $\mathbf{O}_N$ への制限重複度の公式を用い、文字の射影 $\pi$ を用いて有効な形状を同定する。
• リトルウッド＝リチャードソン規則と条件 $c(\lambda) = m$ を用いて、奇数長の列を $m$ 個持つ分割のみが重複度に寄与することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 表現論を用いて、一般化された振動テーブルックスと半標準テーブルックスの間の等数的関係をどのように証明できるか。
• RQ2 対称べきおよび外積べきとのテンソル積の分解を支配するシミプレクティック群および直交群のピエリ規則は何か。
• RQ3 $\mathbf{GL}_{2n}$ から $\mathbf{Sp}_{2n}$ および $\mathbf{O}_N$ への制限重複度は、特定の形状と重み条件を満たすテーブルックスの数とどのように関係するか。
• RQ4 $l(\lambda) \leq 2n$ および $c(\lambda) = m$ という条件が、テンソル積分解における既約成分を特徴づけることができるか。
• RQ5 リトルウッド＝リチャードソン係数は、振動テーブルックスの系列と半標準テーブルックスの数を結ぶ役割を果たすか。

主な発見

• 長さ $k$、形状 $(m)$、かつすべての $i$ に対して $l(\lambda^{(i)}) \leq n$ を満たす振動テーブルックスの数は、$l(\lambda) \leq 2n$ かつ $c(\lambda) = m$ を満たすサイズ $k$ の標準テーブルックスの数に等しい。
• セルの入れ子と取り出しを交互に繰り返す分割の列挙が、重みと長さ制約を満たすとき、重み $\alpha$ で形状 $\lambda$ かつ $l(\lambda) \leq 2n$ かつ $c(\lambda) = m$ を満たす列厳密テーブルックスの数に等しい。
• 垂直ストリップの追加と削除を交互に繰り返す分割の列挙が、重みと長さ制約を満たすとき、重み $\alpha$ で形状 $\lambda$ かつ $l(\lambda) \leq 2n$ かつ $c(\lambda) = m$ を満たす行厳密テーブルックスの数に等しい。
• 直交群の場合、形状 $(1^m)$ で $l(\lambda^{(i)}) \leq n$ を満たす振動テーブルックスの数は、$l(\lambda) \leq N$ かつ $r(\lambda) = m$ を満たすサイズ $k$ の標準テーブルックスの数に等しい。
• すべての振動テーブルックス $O$ について $2^{d(O)}$ の和を取ると、ここで $d(O)$ は長さが $n$ から $n$ 未満に下がるステップの数を数えるものとする。この和は、$l(\lambda) \leq 2n$ かつ $r(\lambda) = m$ または $2n - m$ を満たす標準テーブルックスの数に等しい。
• 制限重複度の公式 $[\operatorname{Res}^{\mathbf{GL}_{2n}}_{\mathbf{Sp}_{2n}}V_{\lambda}:V_{\langle(m)\rangle}] = \sum_{\kappa \in \mathcal{E}'} \operatorname{LR}^{\lambda}_{\kappa,(m)}$ は、リトルウッド＝リチャードソン規則と形状制約を用いて、等数的関係を確認する。