[論文レビュー] PiTP Lectures on Complexity and Black Holes

Leonard Susskind|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2018

Advanced Mathematical Theories and Applications被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、Kキュービットのヒルベルト空間における基本的な幾何的測度としての相対的量子複雑度を導入し、標準的なフルビニ・シュテュルグ計量と対比して述べている。複雑度は時間とともに線形に増加し、最大で指数関数的値に達した後、量子再帰のため平衡状態に近づくことになり、熱力学に類似した複雑度の第二法則を形成する。

ABSTRACT

This is the first of three PiTP lectures on complexity and its role in black hole physics.

研究の動機と目的

• ヒルベルト空間における相対的量子複雑度を定義・分析し、フルビニ・シュテュルグ計量と対比する、独立した幾何的測度としての役割を明らかにすること。
• Kキュービットに作用するユニタリ演算子の空間における複雑度の時間的変化を、特に量子回路の文脈で調査すること。
• 可観測状態の指数的増加に起因する第二法則に類似した量子複雑度の第二法則を確立すること。
• 複雑度とブラックホール内部物理学の関係を接続し、事象の地平線の背後に複雑度が根本的になると考えること。
• 複雑度が不連続であり、突然の遷移を示すことを実証し、グラフベースのモデルにおける一次相転移に類似することを示すこと。

提案手法

• 標準的な内積距離としてのフルビニ・シュテュルグ計量を用い、量子状態間の距離を0からπ/2の間で定義する。
• 相対的複雑度を、1つのユニタリを別のユニタリに変換するために必要な基本ゲート（例：CNOTと1キュービットゲート）の最小数として定義する。
• ユニタリ演算子の空間をグラフとしてモデル化し、ノードをユニタリ、エッジを単一ゲート操作として定義し、複雑度を恒等演算子からのグラフ距離として定義する。
• ε-ボールによる粗視化を適用し、CP(2^K - 1)における状態数を数えることにより、レギュレータパラメータεに対して対数的依存性を導出する。
• ユニタリ群上のランダムウォークを用いた集合平均の複雑度を分析し、最大複雑度に達するまでの線形増加を示す。
• 複雑度が低値に戻る再帰時間を t_recur ~ exp(exp(K)) として導出し、二重指数的時間スケールであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相対的量子複雑度は、量子状態間の距離を測る標準的フルビニ・シュテュルグ計量とどのように異なっているか？
• RQ2 Kキュービット系における量子複雑度の時間的変化はどのようなものか？ また、どこで飽和するか？
• RQ3 なぜ複雑度は線形増加から平衡状態への突然の遷移を示すのか？ これはグラフ理論的衝突とどのように関係しているか？
• RQ4 統計力学的原理を量子回路に適用することで、複雑度の第二法則はどのようにして生じるのか？
• RQ5 複雑度はブラックホール内部の記述において果たす役割は何か？ また、de Sitter型宇宙論においてなぜ根本的になるのか？

主な発見

• 相対的複雑度は、時間とともに線形に増加し、最大で4^Kのオーダーの値に達した後、極めて多くの最大複雑状態が存在するため、ほぼ一定に保たれる。
• 複雑度が低値に戻る再帰時間はKに関して二重指数的であり、t_recur ~ exp(4^K) と推定され、実用的には観測不可能なスケールである。
• 複雑度は、最大複雑度に達した後、より短い経路（例：グラフ上の緑色の軌道）が利用可能になると、突然低下するという点で不連続である。
• 集合平均の複雑度は第二法則に従う：飽和するまで単調増加し、熱力学の第二法則に類似する。
• 複雑度の幾何学は負の曲率を示し、曲率半径が小さいが、フルビニ・シュテュルグ計量とは対照的に正の曲率を示す。
• K=4およびε=1/2の場合、CP(2^K - 1)におけるε-ボールの数は約1.07×10^9であり、Kに対して指数的感度が強く、εに弱い依存性があることを確認する。