[論文レビュー] Plücker varieties and higher secants of Sato's Grassmannian

Jan Draisma, Rob H. Eggermont|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2014

Tensor decomposition and applications参考文献 15被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、ファンクター的かつ双対性と両立する外積空間内の部分多様体族としてのPl"ucker多様体を導入し、有界なPl"ucker多様体が、基底となるベクトル空間に依存しない一様に有界な次数の多項式方程式によって定義されることを証明する。主な結果は、Grassmann多様体の高次接続多様体、SatoのGrassmann多様体を含むものが、無限ウェッジ空間における極限構成を用いて、有限個の$G_\infty$-軌道の多項式方程式によって集合論的に定義されることを示しており、包含性テストのアルゴリズム的応用をもたらす。

ABSTRACT

Every Grassmannian, in its Plücker embedding, is defined by quadratic polynomials. We prove a vast, qualitative, generalisation of this fact to what we call Plücker varieties. A Plücker variety is in fact a family of varieties in exterior powers of vector spaces that, like the Grassmannian, is functorial in the vector space and behaves well under duals. A special case of our result says that for each fixed natural number k, the k-th secant variety of any Plücker-embedded Grassmannian is defined in bounded degree independent of the Grassmannian. Our approach is to take the limit of a Plücker variety in the dual of a highly symmetric space known as the infinite wedge, and to prove that up to symmetry the limit is defined by finitely many polynomial equations. For this we prove the auxilliary result that for every natural number p the space of p-tuples of infinite-by-infinite matrices is Noetherian modulo row and column operations. Our results have algorithmic counterparts: every bounded Plücker variety has a polynomial-time membership test, and the same holds for Zariski-closed, basis-independent properties of p-tuples of matrices.

研究の動機と目的

• 外積空間内の部分多様体族としてのPl"ucker多様体を、ファンクター的かつ双対性と両立するように形式化し、研究すること。
• 古典的な事実、すなわちGrassmann多様体が二次のPl"ucker関係式によって定義されることを、より広いクラスの多様体へ一般化すること。
• Pl"ucker埋め込み済みGrassmann多様体の高次接続多様体が、次元に依存しない一様に有界な次数の多項式方程式によって定義されることを証明すること。
• 有界なPl"ucker多様体における包含性テストを多項式時間で行えるようにすること。
• 主結果の基礎となる道具として、行および列の操作に関する行列組のNoether性を検討すること。

提案手法

• ファンクター性および双対性の公理を満たす$\bigwedge^p V$内の閉部分多様体族としてPl"ucker多様体を定義する。
• 無限ウェッジ空間$({\bigwedge}^{\infty/2} V_\infty)^*$の双対におけるPl"ucker多様体の極限を導入し、その族の漸近的挙動を捉える。
• 有界なPl"ucker多様体の極限が、$p$-組の無限行列の行および列操作による商におけるNoether性を用いて、有限個の$G_\infty$-軌道の多項式方程式によって定義されることを証明する。
• 極限構成を用いて、Pl"ucker多様体の高次接続多様体が再びPl"ucker多様体であり、その定義方程式が有限個の基本方程式の引き戻しによって得られることを示す。
• 無限極限における対称性を活用し、定義方程式の問題を有限個の軌道に還元することで、有界次数の結果を得る。
• 行列組のNoether性を応用して、定義方程式の有限性を確立し、多項式時間の包含性アルゴリズムを構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的なGrassmann多様体を定義するPl"ucker関係式を、一様に有界な定義方程式を持つより広いクラスの多様体へ一般化できるか？
• RQ2 任意のGrassmann多様体$\operatorname{Gr}(p,V)$の$k$-番目の接続多様体は、$p$ や$\dim V$ に依存しない一様に有界な次数の多項式によって定義されるか？
• RQ3 有界なPl"ucker多様体の無限ウェッジ空間における極限は、有限個の$G_\infty$-軌道の多項式方程式によって定義される多様体をもたらすか？
• RQ4 入力テンソルの非スパース符号化が与えられた場合、任意の有界なPl"ucker多様体における包含性を多項式時間でテストできるか？
• RQ5 行および列操作に関する$p$-組の無限行列の空間に、定義方程式の有限性を示すのに十分なNoether性が成り立つか？

主な発見

• 任意の有界なPl"ucker多様体$\mathbf{X}$に対して、$p_0$ および $V_0$ が存在し、すべてのインスタンス$\mathbf{X}_p(V)$が$\mathbf{X}_{p_0}(V_0)$からの引き戻し方程式によって定義されることを保証する。これにより、有界次数の定義方程式が得られる。
• 任意のGrassmann多様体$\operatorname{Gr}(p,V)$の$k$-番目の接続多様体は、$d$ 以下の次数の多項式によって定義され、$d$ は$k$ のみに依存し、$p$ や$\dim V$ には依存しない。
• 有界なPl"ucker多様体の無限ウェッジ空間における極限は、有限個の$G_\infty$-軌道の多項式方程式によって定義され、一様な記述が得られる。
• 任意の有界なPl"ucker多様体における包含性テストを多項式時間で行うアルゴリズムが存在し、底が$\mathbb{Q}$ または数体の場合、ビット複雑度は多項式的である。
• $p$-組の無限行・無限列行列の空間は、行および列操作の下でNoether的であり、主定理の証明に必要な補助的結果である。
• SatoのGrassmann多様体の高次接続多様体は、有限個の$G_\infty$-軌道の多項式方程式によって集合論的に定義され、極限構成は接続多様体の取り出しと可換である。