[論文レビュー] Planar algebras in braided tensor categories

André Henriques, David Penneys+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2016

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、パラメトリックなブレード付きテンソルカテゴリ C 内部に埋め込まれたジョーンズの平面代数の一般化として、アンカーラインを用いてテンソル因子の順序を符号化するアンカープランアルゲブラを導入する。アンカーラインを備えた平面的タングルにより、C におけるアンカープランアルゲブラと、自己双対的生成子を備えたピボタルモジュールテンソルカテゴリの間の同値関係を確立する。これは、古典的な平面代数の分類を、完全なカテゴリカル同値性を保った高次カテゴリカルな設定へと拡張する。

ABSTRACT

We generalize Jones' planar algebras by internalising the notion to a pivotal braided tensor category $\mathcal{C}$. To formulate the notion, the planar tangles are now equipped with additional `anchor lines' which connect the inner circles to the outer circle. We call the resulting notion an anchored planar algebra. If we restrict to the case when $\mathcal{C}$ is the category of vector spaces, then we recover the usual notion of a planar algebra. Building on our previous work on categorified traces, we prove that there is an equivalence of categories between anchored planar algebras in $\mathcal{C}$ and pivotal module tensor categories over $\mathcal{C}$ equipped with a chosen self-dual generator. Even in the case of usual planar algebras, the precise formulation of this theorem, as an equivalence of categories, has not appeared in the literature. Using our theorem, we describe many examples of anchored planar algebras.

研究の動機と目的

• ベクトル空間から任意のピボタルブレード付きテンソルカテゴリ C へ、ジョーンズの平面代数を一般化すること。
• 平面的タングル内のテンソル因子の順序を追跡するためのアンカーラインを導入し、新たな構造「アンカープランアルゲブラ」を定義すること。
• C におけるアンカープランアルゲブラと、自己双対的生成子を備えた C 上のピボタルモジュールテンソルカテゴリとのカテゴリカル同値関係を確立すること。
• 古典的な平面代数の分類を、文脈に応じた完全なカテゴリカル同値性へと拡張すること。これは、これまでの文献では形式化されていなかった。
• モジュールテンソルカテゴリからアンカープランアルゲブラを、逆にアンカープランアルゲブラからモジュールカテゴリを構成するという、体系的な構成法を提供すること。

提案手法

• 内因的に定義された平面的タングルに赤いアンカーラインを導入し、内側と外側の円を接続させることで、テンソル因子の順序を決定する。
• アンカープランアルゲブラを、アンカープラン操作系からピボタルブレード付きテンソルカテゴリ C への関手として定義し、タングルに射を割り当てる。
• 先行研究におけるカテゴリフィケッドトレース構成を用い、C 上のモジュールテンソルカテゴリとアンカープランアルゲブラを関連付ける。
• チューブストリング計算とリボンブレード群作用を用いて、モジュールテンソルカテゴリからアンカープランアルゲブラへの関手を構成する。
• チューブストリング図式計算を用いて、タングルへの射の割り当てがブレード群作用およびホモトピー的不変性と整合することを証明する。
• アンカープランアルゲブラの圏と、自己双対的生成子を備えたピボタルモジュールテンソルカテゴリの圏との間で、完全かつ忠実かつ本質的に全射な対応を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、平面代数をベクトル空間のカテゴリーから、任意のピボタルブレード付きテンソルカテゴリ C へ内部化できるか？
• RQ2 C 上のモジュールテンソルカテゴリに、C におけるアンカープランアルゲブラに正確に対応する構造は何か？
• RQ3 C におけるアンカープランアルゲブラと、C 上の特定のクラスのモジュールテンソルカテゴリとの間に、カテゴリカル同値関係が存在するか？
• RQ4 タングルにアンカーラインが存在する場合、射への割り当てや合成則にどのような影響を与えるか？
• RQ5 古典的な平面代数の分類（(D,X) 対による）を、内部化された設定において完全なカテゴリカル同値性へと拡張できるか？

主な発見

• アンカープランアルゲブラは、テンソル因子の順序を決定するアンカーラインを備えた平面的タングルに装備されることで定義され、任意のピボタルブレード付きテンソルカテゴリ C における標準的な平面代数の一般化である。
• 本論文では、C におけるアンカープランアルゲブラと、自己双対的生成子を備えた C 上のピボタルモジュールテンソルカテゴリとの間で、カテゴリカル同値関係を確立した。
• 同値関係は、チューブストリング計算とカテゴリフィケッドトレースを用いた関手により構成され、逆にアンカープランアルゲブラからモジュールカテゴリを再構成することで逆の構成が可能である。
• タングルへの射の割り当ては、リボンブレード群作用と整合し、ホモトピー的不変性を保証する。
• 主な結果として、古典的な平面代数の分類（(D,X) 対による）が、完全なカテゴリカル同値性へと一般化された。これは、これまでの文献では得られていなかった形式化である。
• 本フレームワークにより、モジュールテンソルカテゴリからアンカープランアルゲブラを体系的に構成でき、逆にアンカープランアルゲブラからモジュールカテゴリを構成することができる。これにはチューブストリング図式計算やブレード群作用が含まれる。