[論文レビュー] Planar anti-Ramsey numbers for paths and cycles

Yongxin Lan, Yongtang Shi+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2017

Limits and Structures in Graph Theory被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、平面三角形分割におけるパスおよびサイクルの平面反ラマシー数を調査し、$k \geq 8$ のパス $P_k$ に対して改善された下界を確立し、$k \geq 5$ のサイクル $C_k$ に対して既存の下界を強化し、エッジ彩色の構造的解析と局所的頂点色数のカウントを用いて $ar_{{}_{\mathcal{P}}}(n,C_6)$ および $ar_{{}_{\mathcal{P}}}(n,C_7)$ の新たな上界を導出する。

ABSTRACT

Motivated by anti-Ramsey numbers introduced by Erdős, Simonovits and Sós in 1975, we study the anti-Ramsey problem when host graphs are plane triangulations. Given a positive integer $n$ and a planar graph $H$, let $\mathcal{T}_n(H)$ be the family of all plane triangulations $T$ on $n$ vertices such that $T$ contains a subgraph isomorphic to $H$. The planar anti-Ramsey number of $H$, denoted $ar_{_\mathcal{P}}(n, H)$, is the maximum number of colors in an edge-coloring of a plane triangulation $T\in \mathcal{T}_n(H)$ such that $T$ contains no rainbow copy of $H$. Analogous to anti-Ramsey numbers and Turán numbers, planar anti-Ramsey numbers are closely related to planar Turán numbers, where the planar Turán number of $H$ is the maximum number of edges of a planar graph on $n$ vertices without containing $H$ as a subgraph. The study of $ar_{_\mathcal{P}}(n, H)$ (under the name of rainbow numbers) was initiated by Horňák, Jendrol$'$, Schiermeyer and Soták [J Graph Theory 78 (2015) 248--257]. In this paper we study planar anti-Ramsey numbers for paths and cycles. We first establish lower bounds for $ar_{_\mathcal{P}}(n, P_k)$ when $n\ge k\ge8$. We then improve the existing lower bound for $ar_{_\mathcal{P}}(n, C_k)$ when $k\geq 5$ and $n\geq k^2-k$. Finally, using the main ideas in the above-mentioned paper, we obtain upper bounds for $ar_{_\mathcal{P}}(n, C_6)$ when $n\ge8$ and $ar_{_\mathcal{P}}(n, C_7)$ when $n\geq 13$, respectively.

研究の動機と目的

• 平面三角形分割におけるパス $P_k$ およびサイクル $C_k$ の平面反ラマシー数 $ar_{{}_{\mathcal{P}}}(n,H)$ を研究すること。
• $n \geq k \geq 8$ のとき、$ar_{{}_{\mathcal{P}}}(n,P_k)$ の既存の下界を改善すること。
• $k \geq 5$ および $n \geq k^2 - k$ のとき、$ar_{{}_{\mathcal{P}}}(n,C_k)$ の下界を精緻化すること。
• $n \geq 8$ のとき $ar_{{}_{\mathcal{P}}}(n,C_6)$ および $n \geq 13$ のとき $ar_{{}_{\mathcal{P}}}(n,C_7)$ の新たな上界を確立すること。
• 三角形分割における構造的制約および彩色制約を通じて、平面反ラマシー数と平面トーラン数を関連付けること。

提案手法

• 平面三角形分割のエッジ彩色において $H$ のレインボーなコピーを避けることができる色の最大数を $ar_{{}_{\mathcal{P}}}(n,H)$ と定義する。
• $\mathcal{H} = \{H-e \mid e \in E(H)\}$ とすると、 $1 + ex_{{}_{\mathcal{P}}}(n, \mathcal{H}) \leq ar_{{}_{\mathcal{P}}}(n,H) \leq ex_{{}_{\mathcal{P}}}(n,H)$ という関係を用いて反ラマシー数を評価する。
• 頂点の次数 $d \geq 5$ または $d \geq 6$ の周囲の局所的色分布を、レインボーな $C_6$ や $C_7$ を避けることができるホイール部分グラフ $W_d$ における色の最大数を用いて分析する。
• $4m \leq \sum_{v \in V(T)} |c(v)|$ を用いた二重数え上げ法により、$|c(v)|$ を頂点 $v$ に接続する異なる色の数とすると、グローバルな境界を導出する。
• 頂点の次数と色数の不等式を用いて、$m$（色の総数）を $n$ の関数として評価する。
• 既知の平面トーラン数の結果を活用し、エッジ彩色におけるグラフ表現の枠組みを通じて、境界を tightened にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $n \geq k \geq 8$ のとき、$ar_{{}_{\mathcal{P}}}(n,P_k)$ の最良の下界は何か？
• RQ2 $k \geq 5$ および $n \geq k^2 - k$ のとき、既存の $ar_{{}_{\mathcal{P}}}(n,C_k)$ の下界はどのように改善できるか？
• RQ3 $n \geq 8$ のとき、$ar_{{}_{\mathcal{P}}}(n,C_6)$ に対してどのような上界が確立できるか？
• RQ4 $n \geq 13$ のとき、$ar_{{}_{\mathcal{P}}}(n,C_7)$ に対してどのような上界が導出できるか？
• RQ5 サイクルの平面反ラマシー数は、その平面トーラン数および局所的彩色制約とどのように関連しているか？

主な発見

• 本稿では、$n \geq k \geq 8$ のとき、$ar_{{}_{\mathcal{P}}}(n,P_k)$ の新たな下界を確立し、以前の結果を改善する。
• サイクルに関しては、$k \geq 5$ および $n \geq k^2 - k$ のとき、$ar_{{}_{\mathcal{P}}}(n,C_k)$ の既存の下界を改善する。
• $n \geq 8$ のすべての $n$ に対して、$ar_{{}_{\mathcal{P}}}(n,C_6) \leq 17(n-2)/6$ という上界を証明する。
• $n \geq 13$ のすべての $n$ に対して、$ar_{{}_{\mathcal{P}}}(n,C_7) \leq (59n - 113)/20$ という上界を確立する。
• 著者らは、$ar_{{}_{\mathcal{P}}}(n,C_6)$ が $17(n-2)/6$ で上から抑えられることを示し、これは以前の推定よりもきめ細やかである。
• 結果は、頂点ベースの色数カウントおよびホイールと三角形分割における構造的制約に基づき、各頂点の色集合に対する次数に依存する明示的な境界を用いて導出されている。