[論文レビュー] Planar arcs.

Simeon Ball, Michel Lavrauw|arXiv (Cornell University)|May 31, 2017

Coding theory and cryptography参考文献 14被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、奇数の特徴を持つ体上の有限射影平面における平面的弧の研究のための、座標に依存しない新手法を提示する。この手法は、スケーリングされたセグレの接線に関する補題を用いる。$ q $ が奇数のとき、サイズが $ q - \frac{1}{2}\big(\frac{1}{2}\big) $ 以上の弧は、ハッセ＝ヴェイルやシュトール＝ヴォロッヒの定理に依存せずに、代数的曲線の交点技術を用いることで、従来の境界を改善し、円錐曲線に含まれることを証明する。

ABSTRACT

Let $p$ denote the characteristic of ${\mathbb F}_q$, the finite field with $q$ elements. We prove that if $q$ is odd then an arc of size $q+2-t$ in the projective plane over ${\mathbb F}_q$, which is not contained in a conic, is contained in the intersection of two curves, which do not share a common component, and have degree at most $t+p^{\lfloor \log_p t floor}$, provided a certain technical condition on $t$ is satisfied. This implies that if $q$ is odd then an arc of size at least $q-\sqrt{q}+\sqrt{q}/p+3$ is contained in a conic if $q$ is square and an arc of size at least $q-\sqrt{q}+\frac{7}{2}$ is contained in a conic if $q$ is prime. This is of particular interest in the case that $q$ is an odd square, since then there are examples of arcs, not contained in a conic, of size $q-\sqrt{q}+1$, and it has long been conjectured that if $q eq 9$ is an odd square then any larger arc is contained in a conic. These bounds improve on previously known bounds when $q$ is an odd square and for primes less than $1783$. The previously known bounds, obtained by Segre \cite{Segre1967}, Hirschfeld and Korchm\'aros \cite{HK1996} \cite{HK1998}, and Voloch \cite{Voloch1990b} \cite{Voloch1991}, rely on results on the number of points on algebraic curves over finite fields, in particular the Hasse-Weil theorem and the St\ohr-Voloch theorem, and are based on Segre's idea to associate an algebraic curve in the dual plane containing the tangents to an arc. In this paper we do not rely on such theorems, but use a new approach starting from a scaled coordinate-free version of Segre's lemma of tangents. Arcs in the projective plane over ${\mathbb F}_q$ of size $q$ and $q+1$, $q$ odd, were classified by Segre \cite{Segre1955b} in 1955. In this article, we complete the classification of arcs of size $q-1$ and $q-2$.

研究の動機と目的

• 奇数の $ q $ に対して、$ \mathbb{F}_q $ 上の射影平面におけるサイズ $ q-1 $ および $ q-2 $ の弧を分類すること。
• 特に奇数の平方数や素数について、弧が円錐曲線に含まれるようになるサイズの改善された下界を確立すること。
• ハッセ＝ヴェイルやシュトール＝ヴォロッヒの定理に依存しない、弧が円錐曲線に含まれることの新しい証明手法を提供すること。
• セグレの以前の研究（サイズ $ q $ および $ q+1 $ の弧に関するもの）を基盤として、サイズ $ q-1 $ および $ q-2 $ の弧の分類を完成すること。

提案手法

• 基礎的な道具として、座標に依存しないスケーリング版のセグレの接線に関する補題が用いられる。
• この手法は、弧を含む有界次数の2つの代数的曲線の交点を分析する。
• 技術的条件のもとで、円錐曲線に含まれないサイズ $ q+2-t $ の弧は、次数がそれぞれ $ t + p^{\lfloor \log_p t \rfloor} $ 以下の2つの曲線の交点上に存在しなければならないことが示される。
• ハッセ＝ヴェイルやシュトール＝ヴォロッヒの定理のような、曲線上の点数に関する古典的定理を避ける。
• 証明は、$ \mathbb{F}_q $ 上の射影平面上における代数的曲線の構造的性質およびその成分に依存する。
• 構成法により、非円錐曲線の弧は、次数が制御された曲線の交点によって制約されることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ \mathbb{P}^2(\mathbb{F}_q) $（$ q $ が奇数）における弧の最小サイズは何か？ そのサイズの弧は、円錐曲線に含まれる必要がある。
• RQ2 ハッセ＝ヴェイルやシュトール＝ヴォロッヒの定理のような点数の定理に依存せずに、弧が円錐曲線に含まれるための古典的境界を改善できるか？
• RQ3 奇数の $ q $ に対して、$ \mathbb{P}^2(\mathbb{F}_q) $ 上のサイズ $ q-1 $ および $ q-2 $ の弧の構造は何か？
• RQ4 セグレの接線に関する補題の座標に依存しない再定式化は、弧の幾何学においてどのような新しい結果を可能にするか？
• RQ5 特に $ q $ が奇数の平方数である場合に、非円錐曲線の弧が存在できないサイズの鋭い閾値は何か？

主な発見

• サイズが $ q - \sqrt{q} + \frac{7}{2} $ 以上の弧は、$ q $ が素数のとき、$ \mathbb{P}^2(\mathbb{F}_q) $ において円錐曲線に含まれる。
• $ q $ が奇数の平方数のとき、サイズが $ q - \sqrt{q} + \frac{\sqrt{q}}{p} + 3 $ 以上の弧は円錐曲線に含まれる。
• すべての奇数の平方数および 1783 未満の素数について、従来の結果を改善している。
• 本稿は、奇数の $ q $ に対して、$ \mathbb{P}^2(\mathbb{F}_q) $ 上のサイズ $ q-1 $ および $ q-2 $ の弧の分類を完了した。
• ハッセ＝ヴェイルやシュトール＝ヴォロッヒの定理に依存せず、弧の包含に関する新しい幾何的アプローチを提供している。
• 長年の予想（$ q \ne 9 $、奇数の平方数）を支持する：$ q - \sqrt{q} + 1 $ を超えるサイズの任意の弧は、円錐曲線上にあるべきである。