[論文レビュー] Planar graphs and covers

M. J. Dunwoody|ArXiv.org|Aug 7, 2007

Finite Group Theory Research参考文献 15被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、自己同型群作用の下で有限商を持つ局所的に有限な平面的グラフの構造的分類を確立し、G-木による分解を通じて3連結、平面的、または巡回的成分に分解されることを示している。主な結果は、平面的非連続群と巡回群の自由積を用いて、平面的ケイリー・グラフをもつ有限生成群の完全な分類が得られることである。

ABSTRACT

Planar locally finite graphs which are almost vertex transitive are discussed. If the graph is 3-connected and has at most one end then the group of automorphisms is a planar discontinuous group and its structure is well-known. A general result is obtained for such graphs where no restriction is put on the number of ends. It is shown that such a graph can be built up from one ended or finite planar graphs in a precise way. The results give a classification of the finitely generated groups with planar Cayley graphs.

研究の動機と目的

• 3連結、局所的に有限で平面的なケイリー・グラフをもつ有限生成群を分類すること。
• 3連結性を仮定しない、局所的に有限で平面的なすべてのケイリー・グラフへこの分類を拡張すること。
• 自己同型群の商が有限である平面的グラフの構造をG-木と頂点ごとの成分を用いて分析すること。
• このようなグラフが可アクセスであり、有限の辺カットを通じて3連結または巡回的部分グラフに分解されることを示すこと。
• 自己同型群が、グラフの群の基本群による分類を可能にする方法で作用することを示すこと。

提案手法

• 1または2の頂点からなる切断集合をもつ、コバウンダリーが有限である部分グラフのG-有限集合からG-木Tを構成する。
• Tの各頂点vに対して、Xの部分グラフZ_vを対応させ、それは3連結平面的グラフ、サイクル、またはカット点のいずれかである。
• 面をなすパスと平面的埋め込みを用いて、自己同型がグラフ構造と面サイクルを保存することを保証する。
• マスキーの平面性定理を適用し、平面的被覆がコンパクトな曲面の正則被覆から生じることを示す。
• 可アクセスなグラフの理論とコバウンダリーが有限である部分集合のブール環を用いて、このような分解の数を有界化する。
• 可アクセス群の構造定理を適用し、Gが頂点群が平面的非連続群または有限個の巡回群の自由積であるようなグラフの群の基本群であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの有限生成群が3連結、局所的に有限で平面的なケイリー・グラフをもつか？
• RQ2 3連結性が成り立たないとき、自己同型群の商が有限である局所的に有限な平面的グラフの構造はどのように分解できるか？
• RQ3 コンパクトな曲面の平面的被覆と平面的グラフの自己同型群との間にはどのような関係があるか？
• RQ4 3連結グラフに制限されない平面的ケイリー・グラフの分類を拡張できるか？
• RQ5 自己同型群作用の下で商が有限である局所的に有限な平面的グラフが、どのような条件下で可アクセスか？

主な発見

• 3連結、局所的に有限で平面的なグラフXで、商G\Xが有限であるものは、コンパクトな曲面の正則平面的被覆であり、Gは平面的非連続群である。
• 自己同型群の商G\Xが有限である任意の局所的に有限で平面的なグラフXは、可アクセスであり、頂点安定化部分群が3連結または巡回的部分グラフに作用するG-木分解をもつ。
• このようなグラフの自己同型群Gは、頂点群が平面的非連続群または有限個の巡回群の自由積であり、辺群が有限巡回群（可能性として自明）であるようなグラフの群の基本群である。
• 作用が自由である（ケイリー・グラフの場合）とき、Gまたはその2次元部分群は、頂点群が平面的非連続群または巡回群の自由積で、辺群の位数が2以下のグラフの群の基本群である。
• このような分解の数は有限であり、3連結成分（3ブロック）はグラフの構造とその自己同型群の構造によって一意に定まる。
• この理論はトゥッテの2連結グラフの解析を一般化し、ドロムズ＝セラティウス＝セラティウスの結果（有限商を持つ平面的グラフ）の新しい証明を提供する。