[論文レビュー] Planar open book decompositions and contact structures

John B. Etnyre|ArXiv.org|Apr 14, 2004

Geometric and Algebraic Topology参考文献 10被引用数 27

ひとこと要約

この論文は、閉じた3次元多様体上のすべてのオーバートゥイスト接触構造が平面のオープン・ブック分解によって支持可能である一方で、すべての接触構造がそうであるとは限らないことを確立している。また、平面のオープン・ブックによって支持される接触多様体のシンプレクティックな充填は、正の第二ベッチ数と退化する第二ベッチ数がともに自明でなければならないことを証明しており、境界がホモロジー球面である場合には交差形式が対角化可能である。これにより、特定の接触構造、特にパoincaréホモロジー球面上のタイト接触構造や、いくつかのシンプレクティックに充填可能な接触構造に対して、平面の支持に関する強い障害が得られる。

ABSTRACT

In this note we observe that while all overtwisted contact structures on compact 3--manifolds are supported by planar open book decompositions, not all contact structures are. This has relevance to invariants of contact structures and also to the Weinstein conjecture via work of Abbas Cieliebak and Hofer.

研究の動機と目的

• 閉じた3次元多様体上のすべての接触構造が平面のオープン・ブック分解によって支持可能かどうかを特定すること。
• 平面のオープン・ブックによって支持される接触構造に対する幾何学的および位相的障害を同定すること。
• 平面のオープン・ブックによる支持が、ウィーンスタイン予想および接触不変量に与える影響を調査すること。
• 平面のオープン・ブックによって支持されない接触構造を区別するシンプレクティックな充填の障害を提供すること。

提案手法

• 接触構造とオープン・ブック分解の間のギルーズの対応を用いて、支持するオープン・ブックのモノドロミーと位相を分析する。
• 平面のオープン・ブックのバインディングに2ハンドルを付加することでシンプレクティックな充填を構成し、シンプレクティック構造を保存する。
• シンプレクティックな4次元多様体がシンプレクティックな球面に沿ってファイバーするというマクダフの定理を適用し、閉じたシンプレクティック多様体がルールド面のブLOWUPであることを示す。
• 自己交差が0である埋め込まれた球面を構成し、それらのホモロジー類を用いて充填の交差形式を分析する。
• シンプレクティック充填の複数の境界成分をカバーし、正のベッチ数が0でない場合に矛盾を導く。
• 接触接続和とムラスギ和における $d_3$ 不変量の加法性を用いて、任意のオーバートゥイスト接触構造に対して平面のオープン・ブックを構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 閉じた3次元多様体上のすべての接触構造が平面のオープン・ブック分解によって支持可能か？
• RQ2 平面のオープン・ブックによって支持されない接触構造を妨げるシンプレクティック不変量は何か？
• RQ3 ウィーンスタイン予想は、平面のオープン・ブック分解を用いてすべての接触構造に対して証明可能か？
• RQ4 平面のオープン・ブックによって支持される接触多様体のシンプレクティック充填における位相的制約は何か？
• RQ5 支持するオープン・ブックの最小ジャンルは有界化可能か？また、すべての接触構造に対してジャンル1で十分か？

主な発見

• 閉じた3次元多様体上のすべてのオーバートゥイスト接触構造は、平面のオープン・ブック分解によって支持可能である。
• 接触3次元多様体 $(M,\tau)$ が平面のオープン・ブックによって支持され、かつシンプレクティックな充填 $X$ を持つならば、$b_2^+(X) = b_2^0(X) = 0$ である。
• 境界 $M$ が整数ホモロジー球面である場合、$X$ 上の交差形式は対角化可能である。
• $-E_8$ プランニングによって誘導されるパインカーレホモロジー球面上の接触構造は、その非対角化可能な交差形式のため、いかなる平面のオープン・ブックによっても支持されない。
• $S^3$ 内のリンクに対してレジェンドリアンの手術を施し、その成分のチューストン＝ベンヌイン不変量が $> 0$ である接触構造は、平面のオープン・ブックによって支持されない。
• ウィーンスタイン予想は、平面のオープン・ブックによって支持されるすべての接触構造に対して成り立つが、本研究の結果により、その方法では未解決のままの接触構造（例えばパインカーレ球面上のもの）が存在することが示された。