[論文レビュー] Planar Shuffle Product, Co-Addition and the non-associative Exponential

Lothar Gerritzen|ArXiv.org|Feb 17, 2005

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、有限の平面的還元済み根付き木に対して平面シャッフル積を定義し、非結合的ホップ代数におけるコ加法的余代数の双対性を確立する。一般化された非結合的指数関数系列 $Δ$ が $̂{\Delta}(\mathrm{EXP}) = \mathrm{EXP} \u0302{\otimes} \mathrm{EXP}$ を満たすことを証明し、その係数に平面シャッフル積を用いた二次関係が得られることから、古典的指数構造の非結合的類似が拡張されることを示す。

ABSTRACT

In this note we introduce the concept of a shuffle product $\sq$ for planar tree polynomials and give a formula to compute the planar shuffle product $S \ \sq T$ of two finite planar reduced rooted trees $S, T.$ It is shown that $\sq$ is dual to the co-addition $Δ$ which leads to a formula for the coefficients of $Δ(f).$ It is also proved that $Δ(EXP) = EXP {\hat \otimes} EXP$ where $EXP$ is the generic planar tree exponential series, see [G]. Systems of quadratic relations for the coefficients of EXP are derived.

研究の動機と目的

• 有限の平面的還元済み根付き木に対して平面シャッフル積 $\sqcup\!\sqcup$ を定義し、コ加法的余代数 $\Delta$ との双対性を確立すること。
• 計数係数を用いた $V \sqcup\!\sqcup W$ の平面シャッフル積の係数を用いて、$\Delta(f)$ の係数の式を導出すること。
• 形式的べき級数完備化の下で、一般化された非結合的指数関数系列 $\mathrm{EXP}$ が $\hat{\Delta}(\mathrm{EXP}) = \mathrm{EXP} \hat{\otimes} \mathrm{EXP}$ を満たすことを証明すること。
• 平面シャッフル積を用いて、$\mathrm{EXP}$ の係数に関する二次関係系を導出すること。
• 得られた代数的構造を用いて、結合的から非結合的設定への標準的射影を拡張すること。

提案手法

• 平面的木の葉集合への縮約を用いて、コ加法的 $\Delta$ の双対演算として平面シャッフル積 $\sqcup\!\sqcup$ を定義する。
• 平面的根付き木の簡約を用いて、すべての頂点 $a$ に対して $ar_T(a) \neq 1$ となるように、還元木 $\mathrm{Red}(T)$ を定義し、代数的整合性を保つ。
• 形式的べき級数完備化 $K\{\{x\}\}_{\infty}$ 上でコ加法的 $\Delta$ が $K$-代数準同型として連続であることを確立し、多項式代数から拡張することを示す。
• $K$-自己同型 $\varphi_k$ と $\mathbb{Q}$ への評価写像 $\pi_k$ を用いた関数方程式の議論により、$\hat{\Delta}(\mathrm{EXP}) = \mathrm{EXP} \hat{\otimes} \mathrm{EXP}$ を証明する。
• 係数 $a(T)$ の平面シャッフル積 $V \sqcup\!\sqcup W$ を用いた表現 $a(V) \cdot a(W) = \sum_T c_T(V \sqcup\!\sqcup W) \cdot a(T)$ を用いて、$\mathrm{EXP}$ の係数に関する二次関係を導出する。
• 再帰的公式 $a(T) = \frac{{q \choose m}}{q^n - q} \cdot a(T_1) \cdots a(T_m)$ を用いて係数を計算し、$T = T_1 \cdot \cdots \cdot T_m$ で $m = \mathrm{ar}(T)$、$n = \deg(T)$ とする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限の平面的還元済み根付き木に対して平面シャッフル積をどのように定義できるか、その代数的性質は何か？
• RQ2 平面シャッフル積とコ加法的余代数 $\Delta$ の間の明確な双対性関係は何か？
• RQ3 一般化された非結合的指数関数系列 $\mathrm{EXP}$ は、形式的べき級数完備化において $\hat{\Delta}(\mathrm{EXP}) = \mathrm{EXP} \hat{\otimes} \mathrm{EXP}$ を満たすか？
• RQ4 係数に現れる二次関係系は何か、平面シャッフル積を用いてどのように表現されるか？
• RQ5 得られた構造を用いて、結合的から非結合的設定への標準的射影を拡張できるか？

主な発見

• 平面シャッフル積 $\sqcup\!\sqcup$ は可換かつ結合的であることが示され、任意の $f$ の $\Delta(f)$ の係数を計算する際にその係数が利用可能である。
• コ加法的 $\Delta$ は形式的べき級数完備化 $K\{\{x\}\}_{\infty}$ 上の連続な余代数 $\hat{\Delta}$ に拡張され、$\hat{\Delta}(\mathrm{EXP}) = \mathrm{EXP} \hat{\otimes} \mathrm{EXP}$ を満たす。
• $\mathrm{EXP}$ の非結合的指数関数系列の係数 $a(T)$ は、二次関係 $a(V) \cdot a(W) = \sum_T c_T(V \sqcup\!\sqcup W) \cdot a(T)$ を満たす。ここで $c_T(V \sqcup\!\sqcup W)$ はシャッフル積の係数である。
• $m \geq 3$ の場合、シャッフル積 $x \sqcup\!\sqcup x^m$ は明示的に計算され、$(m+1)x^{m+1} + 2\sum_{i=1}^m x^{2} \cdot x^{m-1} \text{ (ただし }x\text{ が }i\text{-番目の位置に)} + x \cdot x^m + x^m \cdot x$ となる。この係数関係が正当であることが確認された。
• $T = T_1 \cdot \cdots \cdot T_m$ に対して再帰的公式 $a(T) = \frac{{q \choose m}}{q^n - q} \cdot a(T_1) \cdots a(T_m)$ を用いて特定の係数を計算し、これらが導出された二次恒等式を満たすことが示された。
• 例 5.3 の検証により、二次関係の右辺が $a(x) \cdot a(x^m) = a(x^m)$ に等しいことが確認され、一般式の正当性が裏付けられた。