[論文レビュー] Planar trees, free nonassociative algebras, invariants, and elliptic integrals

Vesselin Drensky, Ralf Holtkamp|ArXiv.org|Oct 2, 2007

Advanced Topics in Algebra参考文献 36被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、ラベル付き簡約平面根付き木を用いて、多項式的非結合的代数の自由代数を調査し、そのホイットニー級数および線形群作用の下での不変量が楕円積分を用いて表現可能であることを確立する。代数の不変量は一般に有限生成ではないことが証明され、生成関数およびホイットニー級数は三角関数および代数関数を含む積分表現を用いて明示的に計算されている。

ABSTRACT

We consider absolutely free nonassociative algebras and, more generally, absolutely free algebras with (maybe infinitely) many multilinear operations. Such algebras are described in terms of labeled reduced planar rooted trees. This allows to apply combinatorial techniques to study their Hilbert series and the asymptotics of their coefficients. These algebras satisfy the Nielsen-Schreier property and their subalgebras are also free. Then, over a field of characteristic 0, we investigate the subalgebras of invariants under the action of a linear group, their sets of free generators and their Hilbert series. It has turned out that, except in the trivial cases, the algebra of invariants is never finitely generated. In important partial cases the Hilbert series of the algebras of invariants and the generating functions of their sets of free generators are expressed in terms of elliptic integrals.

研究の動機と目的

• ラベル付き簡約平面根付き木のような組合せ的構造を用いて、無限個の多項式的作用素をもつ自由多作用素代数を研究すること。
• 自由 $Ω$-代数における係数のホイットニー級数および漸近的挙動を分析すること。
• 特徴0における線形群作用の下での不変量部分代数の構造を調査すること。
• 不変量代数が有限生成かどうかを特定し、そのホイットニー級数を計算すること。
• 自由生成元の生成関数および不変量のホイットニー級数を、楕円積分および特殊関数を用いて表現すること。

提案手法

• 自由 $Ω$-代数をラベル付き簡約平面根付き木で表現し、単項式が木構造に対応するようにする。
• 生成関数および積分変換を用いて、自由代数およびその不変量のホイットニー級数を計算する。
• GL_d(K) および SL_d(K) の表現論を適用し、KX を既約 GL_d(K)-加群に分解する。
• 特性関数および三角関数を含む積分公式を用いて、不変量のホイットニー級数を導出する。
• K\{X\}_{\Omega}^{SL_d(K)} のホイットニー級数を、正弦関数およびシュール関数を含む [0,1] 上の二重積分として表現する。
• Almkvist, Dicks, Formanek の既知の結果を非結合的 $Ω$-代数に拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由 $Ω$-代数における線形群作用の下での不変量部分代数は有限生成か？
• RQ2 自由 $Ω$-代数における不変量のホイットニー級数は、楕円積分などの特殊関数を用いて表現可能か？
• RQ3 不変量の自由生成元の生成関数と、対応する平面木の構造との関係は何か？
• RQ4 不変量のホイットニー級数は、生成集合 X の GL_d(K)-加群構造にどのように依存するか？
• RQ5 非結合的代数における不変量のホイットニー級数の係数の漸近的挙動はいかなるものか？

主な発見

• 非自明なすべてのケースにおいて、自由 $Ω$-代数における不変量代数は有限生成ではない。
• 不変量のホイットニー級数は、楕円積分を含む積分として表現され、例えば $\int_0^1 \cos^2(\pi u) \left(1 - \sqrt{1 - 4z(1 + 2\cos(4\pi u))}\right) du$ のように表される。
• 不変量の自由生成元の生成関数の係数は、d=3、δ が (26) と同一のとき、$z + 2z^2 + 8z^3 + 58z^4 + \cdots$ である。
• 1つの $n$-項作用素を各 $n \geq 2$ に対して持つ $\Omega_n$ の場合、不変量のホイットニー級数は $\frac{1}{2}\int_0^1 \cos^2(\pi u) f(2z\cos(2\pi u)) du$ で与えられ、ここで $f(t) = 1 + t - \sqrt{1 - 6t + t^2}$ である。
• K\{X\}_{\Omega} における SL_2(K)-不変量のホイットニー級数は $\int_0^1 \sin^2(2\pi u) \left(1 - \sqrt{1 - 8z\sin(2\pi u)}\right) du$ であり、これは楕円積分である。
• K\{X\}_{\omega}^{SL_2(K)} の生成関数は $z + 3z^2 + 21z^3 + 209z^4 + \cdots$ で始まり、係数は急激に増加し、組合せ論における既知の数列と一致する。