[論文レビュー] Planar Tur\'an number of the 6-cycle

Debarun Ghosh, Ervin Győri+3 more|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2020

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、平面的ターラン数 $\mathrm{ex}{\mathcal{P}}(n, C_6)$ に対する鋭い上界 $\frac{5}{2}n - 7$ を確立し、以前の $\frac{18(n-2)}{7}$ という上限を改善した。著者らは、最小次数が3以上の $2$-連結な $C_6$-自由平面グラフの構造的解析を通じてこの結果を得た。さらに、無限個の $n \equiv 2 \pmod{5}$ に対して等号が成立する極値グラフを構成し、そのタイトネスを確認した。

ABSTRACT

Let ${\ m ex}_{\\mathcal{P}}(n,T,H)$ denote the maximum number of copies of $T$ in an $n$-vertex planar graph which does not contain $H$ as a subgraph. When $T=K_2$, ${\ m ex}_{\\mathcal{P}}(n,T,H)$ is the well studied function, the planar Tur\\'an number of $H$, denoted by ${\ m ex}_{\\mathcal{P}}(n,H)$. The topic of extremal planar graphs was initiated by Dowden (2016). He obtained sharp upper bound for both ${\ m ex}_{\\mathcal{P}}(n,C_4)$ and ${\ m ex}_{\\mathcal{P}}(n,C_5)$. Later on, Y. Lan, et al. continued this topic and proved that ${\ m ex}_{\\mathcal{P}}(n,C_6)\\leq \\frac{18(n-2)}{7}$. In this paper, we give a sharp upper bound ${\ m ex}_{\\mathcal{P}}(n,C_6) \\leq \\frac{5}{2}n-7$, for all $n\\geq 18$, which improves Lan's result. We also pose a conjecture on ${\ m ex}_{\\mathcal{P}}(n,C_k)$, for $k\\geq 7$.

研究の動機と目的

• 6サイクル $C_6$ の平面的ターラン数 $\mathrm{ex}_{\mathcal{P}}(n, C_6)$ の既知の上界を改善すること。
• 無限個の $n$ に対して明示的な極値グラフ構成によって達成可能なタイトな境界を確立すること。
• 特に $C_4$、$C_5$、$C_6$ を超えて、極値平面グラフ理論の枠組みをより長いサイクルへと拡張すること。
• $\ell \geq 7$ である長さのサイクル $C_\ell$ に対する平面的ターラン数の一般的予想を提示すること。

提案手法

• 2-連結で $C_6$-自由な平面グラフ $G$ に対して、$\delta(G) \geq 3$ かつ $n \geq 6$ のもとで $e(G) \leq \frac{5}{2}n - 7$ を示す。ブロック分解と次数に基づく不等式を用いる。
• オイラーの公式と面・頂点の次数制約を用いて、すべての面の長さが7で、頂点の次数が2または3である基本グラフ $G_0$ を分析する。
• $G_0$ の各辺を分割し、距離2の頂点間に弦を追加することで中間グラフ $G'$ を構成。この操作は平面性を保ちつつ、サイクル構造を制御する。
• グラフのブロックに対して放電的議論を適用し、$5v(G) - 2e(G)$ を評価。$n \geq 18$ のとき、この値は14以上であることを示し、$e(G) \leq \frac{5}{2}n - 7$ を導出する。
• $n \equiv 2 \pmod{5}$ のとき、$v(G) = \frac{18n+14}{5}$ かつ $e(G) = 9n$ となる $C_6$-自由な平面グラフを構成し、境界の等号成立を実現する。
• この構成を一般化し、$\ell$-正則な面構造と頂点次数の制御に基づいて、$\ell \geq 7$ の $\mathrm{ex}_{\mathcal{P}}(n, C_\ell)$ の公式を予想する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 6サイクルを部分グラフとして含まない $n$ 頂点の平面グラフにおける辺数の最良の上界は何か？
• RQ2 既存の境界 $\mathrm{ex}_{\mathcal{P}}(n, C_6) \leq \frac{18(n-2)}{7}$ は改善可能か？ もし可能ならば、どの程度向上できるか？
• RQ3 新しい境界 $\frac{5}{2}n - 7$ の等号が成立する $n$ の値は何か？ また、そのような極値グラフは明示的に構成可能か？
• RQ4 長さ $\ell \geq 7$ のサイクル $C_\ell$ に対する平面的ターラン数に一般的なパターンや公式は存在するか？

主な発見

• 本稿は鋭い上界を確立した：すべての $n \geq 18$ に対して $\mathrm{ex}_{\mathcal{P}}(n, C_6) \leq \frac{5}{2}n - 7$。
• この境界は、ランらによって以前に確立された $\frac{18(n-2)}{7}$ という既存の最良の境界を改善している。
• $n \equiv 2 \pmod{5}$ のとき、$v(G) = \frac{18n+14}{5}$ かつ $e(G) = 9n$ となる $C_6$-自由な平面グラフが存在し、境界 $\frac{5}{2}n - 7$ に対して等号が成立する。
• 極値グラフは、すべての面の長さが7で、頂点の次数が2または3である基本グラフ $G_0$ から出発し、辺の分割と弦の挿入を施すことで構成される。
• 証明はグラフのブロック構造の解析に依拠しており、$n \geq 18$ のとき $5v(G) - 2e(G) \geq 14$ が成り立つことを示し、これにより辺数の上限が導かれる。
• 著者らは、$\ell \geq 7$ に対して、十分大きな $n$ に対して $\mathrm{ex}_{\mathcal{P}}(n, C_\ell) \leq \frac{3(\ell-1)}{\ell}n - \frac{6(\ell+1)}{\ell}$ が成り立つと予想している。これは一般化された構成に基づく。