[論文レビュー] Plancherel Formulae associated to Filtrations of Nilpotent Lie Groups

Joseph A. Wolf|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、平方可積分（相対的離散系列）表現をもつ部分群の系列に分けるフィルトレーションを備えたノルム的リー群に対して、一般化されたプランシュレルの公式を構築する。リー代数の階層的分解を通じて段階的平方可積分表現を構成することで、明示的な特性値およびプランシュレルの公式を導出し、それらを実再単純リー群の最小パラボリック部分群のノルム的部屋およびコンパクト商 $N/\Gamma$ に適用することで、正則表現の多重度の公式が得られる。

ABSTRACT

We study the conditions for a nilpotent Lie group to be foliated into subgroups that have square integrable (relative discrete series) unitary representations, that fit together to form a filtration by normal subgroups. Then we use that filtration to construct a class of "stepwise square integrable" representations on which Plancherel measure is concentrated. Further, we work out the character formulae for those stepwise square integrable representations, and we give an explicit Plancherel formula. Next, we use some structure theory to check that all these constructions and results apply to nilradicals of minimal parabolic subgroups of real reductive Lie groups. Finally, we develop multiplicity formulae for compact quotients $N/Γ$ where $Γ$ respects the filtration.

研究の動機と目的

• ノルム的リー群の平方可積分表現の理論を、個々の表現を超えて階層的でフィルタリングに基づく枠組みへと拡張すること。
• 平方可積分部分表現をもつ正規部分群の系列によるフィルタリングを用いて、『段階的平方可積分』と呼ばれるユニタリ表現のクラスを構成すること。
• これらの表現に対して明示的な特性値公式および完全なプランシュレル測度分解を導出すること。
• この構成が実再単純リー群の最小パラボリック部分群のノルム的部屋に適用可能であることを検証すること。
• フィルタリングを尊重する離散的でコ compact な部分群 $\Gamma$ に対して、コンパクトなニルマンフォールド $N/\Gamma$ 上の正則表現の分解における多重度の公式を構築すること。

提案手法

• 本稿は、リー代数 $\mathfrak{n}$ を理想 $\mathfrak{n}_1 \subset \cdots \subset \mathfrak{n}_{[\ell/2]} = \mathfrak{n}$ へのフィルタリングを用いる。各商 $\mathfrak{m}_r = \mathfrak{n}_r / \mathfrak{n}_{r-1}$ はヘイゼンベルク代数に同型である。
• 各層 $\mathfrak{m}_r$ に対して、反対称形式 $b_\lambda(x,y) = \lambda([x,y])$ のパフィアン $\mathrm{Pf}(\lambda)$ が、表現 $\pi_\lambda$ の平方可積分性を決定する。
• プランシュレル測度は、各部分代数 $\mathfrak{m}_r$ のプランシュレル公式を再帰的に合成することで得られ、フィルタリングの構造および $\mathfrak{n}/\mathfrak{z}$ 上での形式 $b_\lambda$ の非退化性を用いる。
• この手法はまず、上三角行列に対して示され、行列基底 $e_{i,j}$ 及びそれらの交換子を用いて、ヘイゼンベルク型の層への分解を明示的に計算する。
• ノルム的部屋の最小パラボリック部分群への拡張は、ルート系の解析により、必要なフィルタリング条件が満たされることを確認することで行われる。
• コンパクト商 $N/\Gamma$ に対しては、正則表現 $L^2(N/\Gamma)$ をフィルタリングを用いて分析し、段階的平方可積分表現の多重度の公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノルム的リー群のプランシュレルの公式は、平方可積分表現をもつ部分群の系列へのフィルタリングからどのように再構成可能か？
• RQ2 ノルム的リー群が、各段階の商がヘイゼンベルク型代数であり、平方可積分表現をもつようなフィルタリングを有するための条件は何か？
• RQ3 部分フィルタリングのデータから、全群の特性値およびプランシュレル測度を明示的に計算できるか？
• RQ4 この構成は、実再単純リー群の最小パラボリック部分群のノルム的部屋に適用可能か？
• RQ5 離散的でコ compact な部分群 $\Gamma$ がフィルタリングを尊重するとき、$L^2(N/\Gamma)$ 上の正則表現を分解する際に生じる多重度の公式は何か？

主な発見

• 本稿は、ノルム的リー群 $N$ のリー代数を、各々がヘイゼンベルク代数に同型な理想の系列に分解することで、『段階的平方可積分』ユニタリ表現のクラスを構築する。
• 各層 $\mathfrak{m}_r$ 上の部分表現 $\pi_\lambda$ のプランシュレル測度を組み合わせることで、明示的なプランシュレルの公式が導出され、各段階での密度は $|\mathrm{Pf}(\lambda)|$ に比例する。
• この構成は、実再単純リー群の任意の最小パラボリック部分群のユニポテンツルートに適用可能であり、第6節におけるルート系の解析により確認されている。
• コンパクト商 $N/\Gamma$ に対しては、正則表現 $\mathrm{Ind}_\Gamma^N(1_\Gamma)$ が既約成分に分解され、各段階的平方可積分表現の多重度が明示的に計算される。
• 本稿は、補題6.8でルート系の条件を直接計算で検証しており、$r=1,2,3,5$ の $\Delta^+_r$ 集合を用いて、上三角行列の場合のフィルタリング構造を確認している。
• 段階的平方可積分表現の特性値公式は、パフィアンおよびフィルタリングの構造に基づいて導出され、古典的なヘイゼンベルク群の特性値公式を一般化している。