[論文レビュー] Plane curves possessing two outer Galois points

Satoru Fukasawa, Pietro Speziali|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、特性が0または次数と互いに素な代数的に閉じた体上での平面曲線を、2つの外部ガロア点を持ち、それらに付随するガロア群が半直積をなすものとして分類する。主な結果として、このような曲線はすべて特定の族と射影的に同値であることが同定され、それらはフェルマー曲線、二面体群と巡回群をもつ新しいクラス、および係数と次数に制約を課えた多項式方程式で定義される2つの新規族である。これらの曲線の genus と特異点数は明示的に計算されている。

ABSTRACT

We classify plane curves $\mathcal{C}$ possessing two Galois points $P_1$ and $P_2 \in \mathbb{P}^2 \setminus \mathcal{C}$ such that the associated Galois groups $G_{P_1}$ and $G_{P_2}$ generate the semidirect product $G_{P_1} times G_{P_2}$. New examples of plane curves with two Galois points are also presented.

研究の動機と目的

• 2つの外部ガロア点を持ち、それらのガロア群が半直積をなす平面曲線を分類すること。
• 2つの外部ガロア点におけるガロア群が生成する群の正確な構造を特定すること。
• 特に、主定理の (c) および (d) の場合において、2つの外部ガロア点を持つ新たな平面曲線の例を提示すること。
• このような曲線の幾何学的および群論的性質（genus、特異点、自己同型構造）を分析すること。
• 複数のガロア点を持つ曲線の広範な分類問題に、半直積条件に注目して取り組むこと。

提案手法

• 外部点からの射影にガロア理論を適用し、ガロア群 $G_{P_1}$ と $G_{P_2}$ を定義すること。
• 群論的技法を用いて $G = \nolink{G_{P_1} \rtimes G_{P_2}}$ 及びその曲線上への作用の構造を分析すること。
• 置換表現 $\varphi: G \to S_d$ の核を有界化するため、リーマン・ハウルツィッツの公式を適用すること。
• 係数に関する再帰関係を用いた制約を課えた、(b)、(c)、(d) の各場合における曲線の明示的多項式方程式の構成。
• 射影的同値性を用いて、同次座標における標準形への分類を簡略化すること。
• フェルマー曲線およびヘルミート曲線の自己同型群に関する既知の結果を活用し、特定の状況での一意性および非存在性を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの平面曲線が、ガロア群が半直積をなす2つの外部ガロア点を持つのか？
• RQ2 このような曲線の幾何学的および群論的不変量（genus、特異点、自己同型構造）は何か？
• RQ3 フェルマー曲線を超えて、2つの外部ガロア点を持つ新たな曲線族を明示的に構成できるか？
• RQ4 2つのガロア群が生成する群が、直積または半直積でない場合の条件は何か？
• RQ5 ガロア群が巡回群の直積をなす2つの外部ガロア点を持つ唯一の曲線はフェルマー曲線か？

主な発見

• 2つの外部ガロア点を持ち、$G_{P_1} \rtimes G_{P_2}$ を生成する平面曲線が存在するための必要十分条件は、それが4つの族のいずれかと射影的に同値であることである：(a) $x^d + y^d + 1 = 0$、(b) $d$ が偶数のとき $x^d + x^{d/2}(x^{d/2} + 1) = 0$、(c) 特定の係数制約を満たす $y^d + x^2(x^2 + 1)g(x^2)^2 = 0$、(d) 同様の制約を満たす $y^d + (x^2 + 1)g(x^2)^2 = 0$。
• (b)、(c)、(d) の各場合の曲線について、genus は $(d-2)^2/4$ であり、特異点の数は (b) では1つ、(c) および (d) では $d/2 - 1$ 個である。
• $d$ が偶数で $d/2$ が偶数のとき、(b) および (c) の非特異モデルは同型である。$d/2$ が奇数のとき、(b) および (d) の非特異モデルは同型である。
• すべてのケースにおいて、$G_{P_1}$ は二面体群であり、$G_{P_2}$ は巡回群であり、$G_{P_1} \rtimes G_{P_2}$ は完全な群構造である。
• 奇数の $d$ の場合、唯一のこのような曲線はフェルマー曲線 $X^d + Y^d + Z^d = 0$ であり、これは (a) に該当する。
• 群 $G = \nolink{G_{P_1} \rtimes G_{P_2}}$ は $d$ 個の点上で推移的に作用し、置換表現の核の位数は最大で $d$ であり、等号が成り立つのは非特異フェルマー曲線の場合に限る。