[論文レビュー] Plane curves with three syzygies, minimal Tjurina curves curves, and nearly cuspidal curves

Alexandru Dimca, Gabriel Sticlaru|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ヤコビアンのシンジーガモジュールが3つの生成元を持つ、3-シンジーガモジュール曲線（3-syzygy curves）を導入し、研究する。これは、ほぼ自由曲線とプラスワン生成線形配置を統合するものである。特に、偶数次または特定の奇数次（素数の累乗、または素数の累乗の3倍）の有理的ほぼキューピッド曲線が、自由、ほぼ自由、またはプラスワン生成であることを示し、シンジーガモジュール解析とチュリナ数の上限を用いて、いくつかのケースで予想を解決する。

ABSTRACT

We start the study of reduced complex projective plane curves, whose Jacobian syzygy module has 3 generators. Among these curves one finds the nearly free curves introduced by the authors, and the plus-one generated line arrangements introduced by Takuro Abe. All the Thom-Sebastiani type plane curves, and more generally, any curve whose global Tjurina number is equal to a lower bound given by A. du Plessis and C.T.C. Wall, are 3-syzygy curves. Rational plane curves which are nearly cuspidal, i.e. which have only cusps except one singularity with two branches, are also related to this class of curves.

研究の動機と目的

• 複素射影平面における3-シンジーガモジュール曲線の分類と特徴付けを図り、自由曲線およびほぼ自由曲線の理論を拡張すること。
• カスプ以外に1つの特異点（2本の分岐を持つ）を除くすべてがカスプである有理的ほぼキューピッド曲線のヤコビアンシンジーガモジュールの構造を調査すること。
• 特に偶数次および特定の奇数次において、そのような曲線が自由、ほぼ自由、またはプラスワン生成であるための条件を確立すること。
• 曲線のグローバルチュリナ数 $\tau(C)$ が du Plessis-Wall の下界に等しいための必要十分条件が、3-シンジーガモジュール曲線で $d_2 = d_3 = d-1$ であることを証明すること。
• 予想1.2（有理的キューピッド曲線が自由またはほぼ自由である）が、次数33未満、および素数の累乗、または素数の累乗の3倍の次数において、検証されること。

提案手法

• Jacobianシンジーガモジュール $AR(f)$ の最小自由分解 $0 \to F_3 \to F_2 \to F_1 \to F_0 \to 0$ を分析し、$F_2$ のランク $m$ を注目する。
• 生成元の指数 $d_1 \leq d_2 \leq d_3$ を用いて3-シンジーガモジュール曲線を定義し、分類に用いる不変量 $\nu(C)$ を導入する。
• グローバルチュリナ数 $\tau(C)$ に対する du Plessis-Wall 不等式を適用し、等号が成立するのは $d_2 = d_3 = d-1$ を満たす3-シンジーガモジュール曲線に限ることを示す。
• トポロジー的およびモノドロミー的技術（補集合のオイラー標跡、局所モノドロミー作用素の固有値など）を用いて $\nu(C)$ を評価する。
• 4-シンジーガモジュール曲線（例：$f_d = x^{r-1}y^{r-1}z + x^d + y^d = 0$）の明示的族を構成し、奇数次において非3-シンジーガモジュールのケースが存在することを示す。
• $d_1 + d_2 = d$ の条件を用いてプラスワン生成曲線を定義・特徴付け、これは $\nu(C) = 2$ と同値であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヤコビアンシンジーガモジュールにちょうど3つの生成元を持つ、非特異な平面曲線はどのようなものか？
• RQ2 1つの非カスプ特異点を持つ有理的ほぼキューピッド曲線が、どのような条件下で自由、ほぼ自由、またはプラスワン生成であるか？
• RQ3 グローバルチュリナ数 $\tau(C)$ が du Plessis と Wall が与えた下界に等しくなるのはいつか？
• RQ4 シンジーガの最小次数（$mdr(f)$）が3-シンジーガモジュール曲線の分類において果たす役割は何か？
• RQ5 予想1.2（有理的キューピッド曲線が自由またはほぼ自由である）が、奇数次 $d \leq 33$ においてどの程度成り立つか？

主な発見

• 非特異平面曲線 $C:f=0$ が3-シンジーガモジュール曲線であるための必要十分条件は、そのヤコビアンシンジーガモジュール $AR(f)$ が3つの同次シンジーガで最小生成されることである。
• 条件 $d_1 + d_2 = d$ は、すべての3-シンジーガモジュール曲線の中でプラスワン生成曲線を特徴付けるものであり、このような曲線は $\nu(C) = 2$ を満たす。
• 偶数次 $d$ の有理的ほぼキューピッド曲線に対しては $\nu(C) \leq 2$ であるため、自由、ほぼ自由、またはプラスワン生成である。
• 奇数次 $d = 2d' + 1$ で $mdr(f) \leq d'$ のとき、$\nu(C) \leq 2$ であるため、曲線は自由、ほぼ自由、またはプラスワン生成である。
• $d = 3p^k$ で $p > 3$ が素数のとき、$mdr(f) \leq r_0 = (d - 3)/2$ を満たす有理的ほぼキューピッド曲線に対しては $\nu(C) \leq 2$ であり、自由、ほぼ自由、またはプラスワン生成であることが確認される。
• 予想1.2は、すべての有理的ほぼキューピッド曲線で次数 $d \leq 33$ に対して成り立ち、また $d = p^k$ または $d = 3p^k$（$p > 3$ が素数）である場合にも成り立つ。