[論文レビュー] Plane recursive trees, Stirling permutations and an urn model

Svante Janson|ArXiv.org|Mar 7, 2008

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 6被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、平面再帰的木とStirling順列の間の全単射を確立し、それらの組合せ的性質に関する結果を統合・拡張する。一般化されたPólyaのウームモデルを用いて、ランダムなStirling順列における上昇、下降、 plateau の正確な同時分布を導出し、漸近的正規性と正確な共分散式を証明する。主な結果として、対称的依存関係と分散が $ Sim n/9$ のスケーリングを示す。対応関係により、平面再帰的木の葉の数がStirling順列の plateau 数に等しくなることが明らかになり、これまで別々に研究されてきた2つの確率過程が結びつけられる。

ABSTRACT

We exploit a bijection between plane recursive trees and Stirling permutations; this yields the equivalence of some results previously proven separately by different methods for the two types of objects as well as some new results. We also prove results on the joint distribution of the numbers of ascents, descents and plateaux in a random Stirling permutation. The proof uses an interesting generalized Polya urn

研究の動機と目的

• ランダムな平面再帰的木とランダムなStirling順列に関する既存の結果を、直接的な組合せ的対応を確立することで統合・拡張すること。
• 一般化されたPólyaのウームモデルを用いて、ランダムなStirling順列における上昇、下降、 plateau の同時分布を分析すること。
• これらの統計量のモーメントおよび共分散の正確な式を導出すること、特に plateau 数（平面再帰的木における葉の数に等価）に焦点を当てる。
• plateau / 葉の数の漸近的正規性を示し、正確な分散および共分散式を提供すること。

提案手法

• 深さ優先走査コードを用いて、辺のラベルが頂点の追加順に対応するように、平面再帰的木とStirling順列の間の全単射を構築する。
• 上昇、下降、 plateau に対応する置換ベクトル $(2,0,0)$, $(0,2,0)$, $(0,0,2)$ を持つ3色の一般化されたPólyaのウームを用いて、Stirling順列の進化をモデル化する。
• 置換行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ を用いて、カウントの漸近的同時正規性を導出する。
• 既知の葉の数 $L_n = Z_n$ の分散から、対称性およびモーメント恒等式を用いて正確な共分散を導出する。
• Bonaの研究に類似した、確率母関数および実根性に関する既知の結果を活用して、漸近的正規性を裏付ける。
• ウームの置換が引き抜かれた色に依存しないという事実を用い、出生過程における依存性のため、解析が単純化されないことを強調する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダムなStirling順列における上昇、下降、 plateau の数の同時分布は何か？
• RQ2 上昇、下降、 plateau の数は、モーメントおよび共分散の観点からどのように関係しているか？
• RQ3 一般化されたPólyaのウームモデルを用いて、Stirling順列における plateau 数の漸近的正規性を厳密に導出できるか？
• RQ4 ランダムなStirling順列における上昇、下降、 plateau の数の間の正確な共分散は何か？
• RQ5 平面再帰的木とStirling順列の間の全単射は、葉の数と plateau 数に関する結果をどのように統合するか？

主な発見

• ランダムなStirling順列 $Q_n$ における plateau 数 $Z_n$ は、対応するランダムな平面再帰的木 $T_n$ の葉の数 $L_n$ に等しく、直接的な組合せ的同値性を確立する。
• plateau の期待値は $\mathbb{E}[Z_n] = \frac{2n+1}{3}$ であり、分散は $\operatorname{Var}(Z_n) = \frac{2(n^2 - 1)}{9(2n - 1)} \sim \frac{n}{9}$ であり、既知の葉の数の結果と一致する。
• $(X_n, Y_n, Z_n)$ の同時分布は、平均ベクトル $\left(\frac{2n}{3}, \frac{2n}{3}, \frac{2n}{3}\right)$ および対角成分が $1/9$、非対角成分が $-1/18$ の共分散行列 $\Sigma$ を持つ漸近的多変量正規分布に従う。
• 任意の変数ペア間の正確な共分散は $\operatorname{Cov}(X_n, Y_n) = \operatorname{Cov}(X_n, Z_n) = \operatorname{Cov}(Y_n, Z_n) = -\frac{n^2 - 1}{9(2n - 1)}$ であり、対称性および分散恒等式から導出される。
• 漸近的正規性 $\frac{L_n - 2n/3}{\sqrt{n}} \xrightarrow{d} N(0, 1/9)$ はウームモデルを用いて確認され、分散は $n/9$ のスケーリングを示す。
• ウームモデルは、置換が引き抜かれた色に依存しないため、一見単純に思えるが、出生過程における内在的な依存性のため、解析が単純化されない。連続時間分岐過程の類似では、分散が単純な超幾何モデルとは異なることが示される。