[論文レビュー] Plane sextics with a type $\bold E_8$ singular point

Alex Degtyarev|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ヒルツェブルフ面における三角的モデルとグロテンディークのデッサン・ダンタンを用いて、単一の E8 特異点と単純特異点をもつ最大平面六次曲線を分類する。その基本群を計算し、非アーベル基本群をもつ4つの新しい六次曲線を同定する——そのうち2つは、Z₁₂ ⋊ SL(2, F₅) に同型な有限群に同型な非可換基本群をもつ既約な六次曲線である。また、それ以外のすべてのこのような六次曲線はアーベル基本群をもつことを証明する。

ABSTRACT

We construct explicit geometric models for and compute the fundamental groups of all plane sextics with simple singularities only and with at least one type $\bold E_8$ singular point. In particular, we discover four new sextics with nonabelian fundamental groups; two of them are irreducible. The groups of the two irreducible sextics found are finite. The principal tool used is the reduction to trigonal curves and Grothendieck's {\it dessins d'enfants}

研究の動機と目的

• 等奇性変形に関して、型 E8 特異点と単純特異点をもつすべての最大平面六次曲線を分類すること。
• すべてのこのような六次曲線について、基本群 π₁(P² ∖ B) を計算すること、特に非アーベルの場合を同定すること。
• 幾何的および組合せ的手段を用いて、射影平面における曲線の補集合の位相を調査すること。
• 六次曲線の幾何とその基本群との関係、特に剛性および退化の文脈において探求すること。
• 非トーラス型六次曲線の基本群の有限性に関する予想を検証および拡張すること。

提案手法

• 骨格を用いた幾何的トリックにより、平面六次曲線をヒルツェブルフ面 Σ₂ における三角的曲線に還元すること。
• グロテンディークのデッサン・ダンタンを応用し、三角的モデルのモノドロミーおよび位相を分類・分析すること。
• 三角的モデルにおける初等変換および退化を用いて、すべての可能な六次曲線を体系的に構成すること。
• デッサン不変量から得られるモノドロミー表現および群の提示を用いて、基本群を計算すること。
• K3 曲面のグローバル・トーレィの定理および最大六次曲線の剛性を活用し、変形類の一意性を保証すること。
• 摂動および退化の分析により、基本群が非アーベルのままである場合を特定すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 等奇性変形に関して、型 E8 特異点と単純特異点をもつ最大平面六次曲線は、いくつ存在するか？
• RQ2 これらの六次曲線の中で、非アーベル基本群をもつものはどれであり、その群構造はどのようなものか？
• RQ3 単純特異点をもつ非トーラス型既約六次曲線の基本群が有限である可能性はあるか？
• RQ4 非アーベル基本群を保つような、このような六次曲線の可能な摂動は何か？
• RQ5 六次曲線の退化は、その等奇性変形類の最大性および剛性とどのように関係するか？

主な発見

• 型 E8 特異点と単純特異点をもつ最大既約平面六次曲線は、ちょうど39個存在し、26個の異なる特異点集合を実現する。
• 型 E8 特異点と単純特異点をもつ最大可約平面六次曲線は、ちょうど18個存在し、17個の異なる特異点集合を実現する。
• 非アーベル基本群をもつのは、2つの六次曲線に限られる：一つは E8 ⊕ A₄ ⊕ A₃ ⊕ 2A₂ の特異点をもち、もう一つは E8 ⊕ D₆ ⊕ A₃ ⊕ A₂ の特異点をもつ。
• E8 ⊕ A₄ ⊕ A₃ ⊕ 2A₂ をもつ六次曲線の基本群は、G₆ = Z₁₂ ⋊ SL(2, F₅) に同型であり、位数1440の有限群である。
• E8 ⊕ D₆ ⊕ A₃ ⊕ A₂ をもつ六次曲線の基本群は、G∞ = Z × SL(2, F₅) に同型であり、無限大の位数の無限群である。
• 非アーベル基本群をもつこれらの六次曲線の真の摂動は、すべてアーベル基本群をもつが、2つの特定の摂動を除いては非アーベル構造が保たれる。